§ 4. Свойства двойных рядов и признаки сходимости

Многие свойства простых рядов и их доказательства сохраняют силу и для двойных рядов, быть может, с незначительными изменениями формулировок и рассуждений.

Теорема об умножении двойного ряда на число (ср. с теоремой 2 § 8 главы 2). Пусть

— некоторый двойной ряд, — произвольное число, отличное от нуля. Тогда двойной ряд

сходится тогда и только тогда, когда сходится двойной ряд (13.18). Если двойной ряд (13.25) сходится и сумма его равна то сумма двойного ряда (13.26) равна

Теорема Дирихле о перестановке членов рядов. Пусть дан двойной ряд

с неотрицательными членами, а двойной ряд

получается из ряда (13.27) в результате произвольного изменения расположения его членов.

Тогда, если ряд (13.27) сходится, то ряд (13.28) также сходится и имеет ту же сумму.

Для доказательства достаточно взять произвольную частичную сумму двойного ряда (13.28) и столь большой прямоугольник

с суммой членов чтобы в нем содержались все члены суммы Дальнейший ход рассуждений не отличается от доказательства теоремы Дирихле для простых рядов. Теорема о сложении рядов. Пусть

— два сходящихся ряда соответственно с суммами и Тогда ряд

также сходится и сумма его равна

Доказательство этой теоремы практически ничем не отличается от доказательства соответствующей теоремы для простых рядов (теорема 4 § 8 главы 2).

Теорема о сравнении двойных рядов с положительными членами. Пусть

и

— два двойных ряда с положительными членами, причем найдутся такие номера что при

Тогда из сходимости двойного ряда (13.30) следует сходимость двойного ряда (13.29), а из расходимости двойного ряда (13.22) следует расходимость двойного ряда (13.30).

Из этого признака сравнения и рассуждений § 2 о сходимости двойных прогрессий можно без труда вывести признак сходимости двойных рядов, который, по аналогии со сходным признаком сходимости для простых рядов, можно назвать признаком сходимости Даламбера. Теорема. Если для двойного ряда

с положительными членами найдутся такие что при имеют место неравенства

то двойной ряд (13.30) сходится.

Наоборот, если для двойного ряда (13.30) найдется такое что при и некотором

или же найдется такое что при и некотором

то двойной ряд (13.31) расходится.

В своей предельной форме этот признак приобретает следующий вид (см. следствие из § 5 главы 3):

Если для двойного ряда (13.31)

для всех и

для всех то этот двойной ряд сходится.

Если для (13.31)

для некоторого или

для некоторого m, то этот двойной ряд расходится.

Для двойных рядов имеют место аналоги и других признаков сходимости, известных читателю по главам 3 и 12 для простых рядов. Так, применительно к двойным рядам можно сформулировать признаки сходимости Коши, Маклорена — Коши и другие чувствительные признаки.