§ 3. Исследование одного класса интегралов

Пусть — такая последовательность функций вещественной переменной, что при любом

В предыдущем параграфе было установлено (соотношения (16.11) и (16.13)), что в качестве функции обладающей этим свойством, можно взять

а также

Далее мы будем вести рассуждения применительно к произвольной функции удовлетворяющей условию (16.16). Однако нашей целью будет получение результатов о конкретных функциях, описываемых равенствами (16.17) и (16.18). Первым из них мы воспользуемся при доказательстве теоремы Дирихле, а вторым — при доказательстве теоремы Фурье.

Пусть — произвольная функция, заданная на некотором сегменте . Нас будут интересовать интегралы вида

а также пределы этих интегралов при неограниченном возрастании

В случае (16.17) интеграл в (16.19) называется интегралом Дирихле, а в случае (16.18) — интегралом Фурье.

Лемма 1. Если а функция на сегменте монотонна, то

Доказательство. Предположим сначала, что функция на сегменте положительна и монотонно убывает. Тогда по «второй» теореме о среднем (точнее, по формуле (16.9)) найдется такое что

так что

и на основании

Пусть теперь функция на сегменте монотонно убывает, но может принимать и отрицательные значения.

Возьмем тогда такое что функция на сегменте положительна. Тогда мы имеем

что в принятых обозначениях с учетом формулы (16.16) означает

Но для положительной монотонно убывающей функции мы по доказанному имеем откуда

Пусть, наконец, функция монотонно возрастает. Рассмотрим функцию которая монотонно убывает. Тогда мы имеем по предыдущему

Лемма 2. Если и функция монотонна на сегменте то

Доказательство. Возьмем функцию Эта функция определена на сегменте (здесь ) и монотонна. Значит,

Но по предыдущему

следовательно,

а это и требовалось.

Лемма 3. Если функция задана на сегменте и монотонна на нем, то

где

Геометрически означает, что, двигаясь в пределах сегмента можно подойти к точке 0 справа, а — что можно подойти к точке 0 слева (см. рис. 20).

Рис. 20.

Доказательство. Случаи фактически нами уже рассматривались соответственно в леммах 1 и 2. Им отвечали случаи, когда или соответственно

Пусть теперь . В этом случае Поскольку является интегралом, должно выполняться свойство аддитивности

и при переходе к пределу —

Поэтому на основании лемм 1 и 2

Пусть, далее, Здесь Продолжим функцию произвольно (соблюдая только монотонность и интегрируемость) на сегмент . Тогда, снова вспоминая, что - интеграл, мы можем написать

или, переходя к пределу и пользуясь леммой 2,

Наконец, случай, когда рассматривается точно так же.

Теорема. Пусть функция задана на сегменте и кусочно монотонна. Тогда

где определены, как и выше, по (16.21) и (16.22).

Доказательство. По определению кусочно монотонной функции (см. § 2 главы 9) можно указать конечное число таких точек что в каждом из сегментов функция монотонна.

Пользуясь тем, что — интеграл, запишем

или, в пределе,

Из монотонности функции на каждом из сегментов следует, что к каждому слагаемому в (16.23) справа можно применить лемму 3:

или

Очевидно, что для того, чтобы к точке 0 можно было подойти по сегменту слева, необходимо и достаточно, чтобы к 0 можно было подойти слева по одному (и, очевидно, не более чем по одному) из сегментов (рис. 21).

Рис. 21.

То же справедливо и для подхода к 0 справа. Значит,

Поэтому (16.25) может быть переписано как

а это и требовалось.