§ 5. Использование начальных условий
Подставим найденные значения К в уравнение (10.15):
При любых значениях постоянных С и 
произведения
будут решениями уравнения (10.8), удовлетворяющими граничным условиям (10.9). В силу линейности уравнения (10.8) любая сумма функций вида (10.17) также будет решением (10.8) и также будет удовлетворять граничным условиям (10.9).
Возьмем поэтому набор функций вида
и постараемся так распорядиться значениями произвольных до сих пор постоянных 
чтобы сумма этих функций удовлетворяла еще и начальным условиям (10.10) и (10.11). Это значит, что мы будем искать решение уравнения (10.8), удовлетворяющее граничным и начальным условиям (10.9)-(10.11), в виде
Так как мы здесь имеем дело не с суммой, а с рядом, для того чтобы этот ряд был решением уравнения (10.8), необходимо, чтобы сходился как он сам, так и ряды, получаемые из него в результате двукратного его почленного дифференцирования по х и по 
Полагая в 
мы имеем
Если на сегменте 
функция 
разлагается в ряд Фурье по синусам, то (как это было выяснено в § II
главы 9) в качестве коэффициентов 
можно взять соответствующие коэффициенты Фурье:
Такой выбор постоянных 
обеспечивает соблюдение начального условия (10.10).
Переходим к начальному условию (10.11). Дифференцируя равенство (10.18) по 
мы получаем
или, подставляя 
Если функция 
разлагается на сегменте 
в ряд Фурье по синусам, то в качестве величин 
можно взять коэффициенты этого разложения:
откуда
Применение рассмотренного метода Фурье оказывается оправданным, если получающийся для функции и ряд можно дважды почленно дифференцировать по каждой из переменных 
Поэтому, вообще говоря, после получения ряда такого рода проверку следует производить. Однако в конкретном случае уравнения колебаний струны оказывается, что ряд (10.18) дает нужное решение даже в тех случаях, когда он и не поддается указанному дифференцированию. В этом проявляется довольно частое в математике обстоятельство, состоящее в том, что формальные выкладки могут оказаться верными, даже если
они и не вполне корректны. Разумеется, это замечание не может оправдывать беззаботного дифференцирования рядов без последующей проверки законности этих действий.
Пример. Решим уравнение колебаний струны 
с неподвижными концами
при начальных условиях
Согласно сказанному в начале этого параграфа (формула (10.18))
где 
— коэффициенты в разложении функции 
в ряд Фурье по синусам, 
— коэффициенты в разложении в ряд Фурье по синусам функции 
Нетрудно убедиться в том, что разложением в ряд по синусам в данном случае будет
так что 
а остальные коэффициенты 
обращаются в нуль. Из (10.20) видно, что коэффициенты 
разложения должны быть равны нулю.
Таким образом, в данном случае
Полученный ряд является конечной суммой, и потому все вопросы, связанные с его сходимостью и почленным дифференцированием, решаются тривиальным образом.
