§ 5. Использование начальных условий

Подставим найденные значения К в уравнение (10.15):

При любых значениях постоянных С и произведения

будут решениями уравнения (10.8), удовлетворяющими граничным условиям (10.9). В силу линейности уравнения (10.8) любая сумма функций вида (10.17) также будет решением (10.8) и также будет удовлетворять граничным условиям (10.9).

Возьмем поэтому набор функций вида

и постараемся так распорядиться значениями произвольных до сих пор постоянных чтобы сумма этих функций удовлетворяла еще и начальным условиям (10.10) и (10.11). Это значит, что мы будем искать решение уравнения (10.8), удовлетворяющее граничным и начальным условиям (10.9)-(10.11), в виде

Так как мы здесь имеем дело не с суммой, а с рядом, для того чтобы этот ряд был решением уравнения (10.8), необходимо, чтобы сходился как он сам, так и ряды, получаемые из него в результате двукратного его почленного дифференцирования по х и по

Полагая в мы имеем

Если на сегменте функция разлагается в ряд Фурье по синусам, то (как это было выяснено в § II

главы 9) в качестве коэффициентов можно взять соответствующие коэффициенты Фурье:

Такой выбор постоянных обеспечивает соблюдение начального условия (10.10).

Переходим к начальному условию (10.11). Дифференцируя равенство (10.18) по мы получаем

или, подставляя

Если функция разлагается на сегменте в ряд Фурье по синусам, то в качестве величин можно взять коэффициенты этого разложения:

откуда

Применение рассмотренного метода Фурье оказывается оправданным, если получающийся для функции и ряд можно дважды почленно дифференцировать по каждой из переменных Поэтому, вообще говоря, после получения ряда такого рода проверку следует производить. Однако в конкретном случае уравнения колебаний струны оказывается, что ряд (10.18) дает нужное решение даже в тех случаях, когда он и не поддается указанному дифференцированию. В этом проявляется довольно частое в математике обстоятельство, состоящее в том, что формальные выкладки могут оказаться верными, даже если

они и не вполне корректны. Разумеется, это замечание не может оправдывать беззаботного дифференцирования рядов без последующей проверки законности этих действий.

Пример. Решим уравнение колебаний струны

с неподвижными концами

при начальных условиях

Согласно сказанному в начале этого параграфа (формула (10.18))

где — коэффициенты в разложении функции в ряд Фурье по синусам, — коэффициенты в разложении в ряд Фурье по синусам функции

Нетрудно убедиться в том, что разложением в ряд по синусам в данном случае будет

так что а остальные коэффициенты обращаются в нуль. Из (10.20) видно, что коэффициенты разложения должны быть равны нулю.

Таким образом, в данном случае

Полученный ряд является конечной суммой, и потому все вопросы, связанные с его сходимостью и почленным дифференцированием, решаются тривиальным образом.