§ 9. Формула Тейлора

Напомним следующий факт, относящийся к дифференциальному исчислению.

Теорема. Пусть функция имеет в некотором сегменте непрерывные производные до порядка включительно, а точка а находится внутри этого

сегмента. Тогда для любого х из этого же сегмента имеет место формула Тейлора

где остаточный член может быть записан в виде

(форма Лагранжа), причем с лежит между Очевидно, число можно записать также в виде где

Доказательство. Пусть остаточный член определяется равенством (6.17). Покажем, что он действительно имеет вид, описываемый в (6.18). С этой целью фиксируем значения введем новую переменную у и рассмотрим функцию

Очевидно, между а их функция непрерывна и дифференцируема.

Полагая мы непосредственно получаем

а полагая мы имеем

Согласно (6.17) правая часть этого равенства равна так что

Из (6.19) и (6.20) на основании теоремы Ролля для некоторого лежащего строго между а их, должно быть

Но

т. е.

и (6.21) переписывается как

Но и потому

а это и требовалось.