§ 7. Суммирование по Чезаро

Рассмотрим еще одну суммирующую функцию, отличную как от функции приводящей к обычной сумме ряда, так и от функции приводящей к его сумме по Пуассону — Абелю.

В качестве такой функции для ряда их возьмем предел средних арифметических частичных сумм этого ряда, т. е.

Такое понимание суммы ряда называется его суммированием по Чезаро.

Примеры.

1. Для яда мы имеем

Поэтому

Следовательно,

2. Для ряда будет

Значит,

и с ростом последовательность этих сумм ни к какому пределу не стремится. Таким образом, рассматриваемый ряд по Чезаро не суммируем.

Метод суммирования Чезаро является линейным. Действительно, если — ряды, как они были определены в конце § 2, то

Докажем, что суммирование по Чезаро является и регулярным, т. е. если ряд на сходится и то он суммируем по Чезаро и

Мы имеем

Рассмотрим разность

Очевидно, здесь не входит ни в одно слагаемое последней суммы, входит только в одно, только в два и т. д. Таким образом,

а, согласно лемме из предыдущего параграфа, для сходящегося ряда последний предел равен нулю.

Удобный необходимый признак суммируемости ряда по Чезаро, в известной степени напоминающий необходимый признак сходимости рядов, описанный в § 6 главы 2, дается следующей теоремой.

Теорема. Для того чтобы ряд был суммируем по Чезаро, необходимо, чтобы было

Доказательство. Пусть частичная сумма ряда (при этом мы полагаем и предположим, что предел

существует. Тогда, очевидно, и

так что

Но тогда (мы повторяем только что проведенное рассуждение) должно быть и и из последних двух равенств следует, что

Ряд из примера 1 под этот признак подходит, а ряд из примера - нет.