§ 2. Сходимость двойных рядов

Для определения суммы ряда

нами были введены частичные суммы

и их предел (если он существует) был принят по определению за сумму ряда (13.5). Заметим, что такому подходу способствовало прежде всего достаточно естественное представление о частичных суммах (13.6), в которых члены ряда (13.5) складываются по порядку.

Такого бесспорного представления о частичных суммах в случае двойного ряда (13.4) уже нет, так как запись (13.2) еще сама по себе не указывает того естественного порядка, в котором надлежит складывать выписанные числа. Буквальное понимание записи (13.4) подсказывает нам, например, понимание суммы (13.4) как «предела суммы пределов сумм чисел по строкам»:

Очевидно, осмысленность упомянутых здесь пределов означает сходимость каждой из строк двойного ряда (13.4), а также сходимость ряда, членами которого являются эти суммы. Обозначая сумму строки двойного ряда через

мы можем равенство (13.7) переписать как

Число называется суммой двойного ряда (13.3) по строкам.

Читая теперь запись (13.4) столбец за столбцом, мы можем понимать ее как

Здесь существование внутренних пределов означает сходимость столбцов двойного ряда. Обозначая сумму столбца через

мы можем переписать (13.10) как

Число называется суммой двойного ряда (13.3) по столбцам.

В § 5 главы 4 рассматривалось суммирование чцсел, заполняющих бесконечную прямоугольную таблицу «по окаймлениям квадратов». Можно представить себе и другие схемы составления предела, описывающего сумму двойного ряда (13.4). Мы остановимся на достаточно общей и вместе с тем достаточно естественной схеме.

Определение. Сумма членов ряда (13.4)

называется его частичной суммой и обозначается обычно через или, если это не вызывает недоразумений, через

Определение. Будем говорить, что двойной ряд (13.4) сходится и имеет сумму если, каково бы ни было найдутся такие что при

Условие сходимости ряда (13.4) к сумме можно записать также в виде

Подчеркнем, что мы имеем дело здесь с двойным пределом: переменные тип могут возрастать совершенно независимо друг от друга.

Пример. Рассмотрим сходимость двойных прогрессий, т. е. двойных рядов вида (13.4), в которых Будем считать, что

Здесь для суммы строки мы имеем

откуда согласно (13.9) для суммы двойной прогрессии по строкам мы имеем

Нетрудно подсчитать таким же образом, что и

Наконец, частичная сумма двойной прогрессии вычисляется как

так что, переходя к пределу при неограниченном возрастании тип, получаем

Мы видим, что при двойная прогрессия сходится, причем ее сумма согласно (13.13), (13.14) и (13.15) совпадает с ее суммами и по строкам и столбцам. Далее будет видно, что такое совпадение является весьма распространенным и вместе с тем важным обстоятельством.

Если, напротив, хотя бы одно из чисел не меньше единицы, то соответствующая двойная прогрессия расходится,