§ 15. Теорема Вейерштрасса

В качестве другого важного следствия теоремы Фейера (имеющего многочисленные как теоретические, так и практические приложения), приведем следующую теорему.

Теорема Вейерштрасса (о приближении непрерывных функций полиномами). Если — заданная на сегменте непрерывная функция, а — произвольное число, то найдется такой полином Р, для которого

Доказательство. Сдвигая интервал задания функции на а влево и изменяя его длину в раз, мы

приходим к рассмотрению функции на сегменте :

Продолжим функцию на сегмент по четности и будем приближаться к ней, суммируя ее ряд Фурье по Чезаро. В силу установленной в предыдущем параграфе равномерной сходимости этого суммирования, по заданному начиная с некоторого будет

Но каждая сумма Фурье является суммой конечного числа выражений вида

с целыми и Поэтому суммой конечного числа таких выражений является и всякая сумма Фейера

Каждое из выражений (16.68) разлагается, согласно § 3 главы 7, в ряд Маклорена, который в любой конечной области изменения переменного х сходится и притом равномерно (в чем можно без труда убедиться, применяя к оценке остаточного члена в § 3 главы 7, признак Вейерштрасса из § 7 главы 5). Значит, равномерно сходится и степенный ряд, составляющий сумму Фейера Отсюда следует, что мы можем взять некоторую частичную сумму этого степенного ряда, для которой будет

Вместе с (16.67) это дает нам

Наконец, полагая

и обращая внимание на то, что Р вместе с также является полиномом, мы окончательно получаем (16.66), а это и требовалось.