§ 6. Коэффициенты Фурье разрывных функций

Пусть определенная на функция разрывна, но вместе со своей производной удовлетворяет условиям Дирихле, и имеют место разложения в ряды Фурье:

Пусть далее точки разрыва перечисленных в порядке их возрастания (т. е. слева направо). Дополним этот список «на всякий случай» точками по этому поводу конец § 2 главы 9) и будем считать, что

Положим, наконец,

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема. Если функция и ее производная удовлетворяют перечисленным выше условиям, то их коэффициенты Фурье связаны следующими соотношениями:

Доказательство напоминает доказательство теоремы 1 § 14 главы 9. Мы имеем

Разобьем интервал на интервалы непрерывности функции которых конечное число. Применение к каждому из них интегрирования по частям

дает нам

В силу непрерывности синуса первое слагаемое справа переписывается как Суммирование этой разности по от 1 до с учетом (16.31) и (16.32), а также с заменой на дает нам

или, замечая, что последнее слагаемое есть мы получаем (16.32).

Соотношение (16.33) устанавливается аналогично.