Пусть далее
точки разрыва
перечисленных в порядке их возрастания (т. е. слева направо). Дополним этот список «на всякий случай» точками
по этому поводу конец § 2 главы 9) и будем считать, что
Положим, наконец,
Тогда имеет место следующая теорема.
Теорема. Если функция
и ее производная
удовлетворяют перечисленным выше условиям, то их коэффициенты Фурье связаны следующими соотношениями:
Доказательство напоминает доказательство теоремы 1 § 14 главы 9. Мы имеем
Разобьем интервал
на интервалы непрерывности функции
которых конечное число. Применение к каждому из них интегрирования по частям
дает нам