§ 5. Сходимость знакопеременных рядов

Содержащийся в главе 4 материал позволяет оценивать сходимость знакопеременных рядов лишь в двух случаях: когда речь идет об абсолютной сходимости и вопрос тем самым сводится к сходимости рядов с положительными членами и когда знакопеременный ряд является

знакочередующимся и к нему применим признак сходимости Лейбница.

Займемся более широким исследованием сходимости знакопеременных рядов.

Иногда бывает удобно представлять члены ряда в виде произведений, т. е. рассматривать ряды вида

Положим

и выполним следующее тождественное преобразование (называемое иногда преобразованием Абеля):

(В преобразовании Абеля нетрудно усмотреть конечный аналог интегрирования по частям.)

Абсолютную величину суммы можно оценить через величины следующим образом.

Лемма. Если последовательность

монотонная (т. е. невозрастающая или неубывающая) и

то

Доказательство. Выполняя преобразование Абеля, мы имеем

Но из монотонности последовательности (12.25) следует, что все разности в (12.26) справа имеют один и тот же знак. Следовательно,

и требуемое доказано.