§ 4. Показательная функция с комплексным значением показателя
Займемся определением показательной функции 
где 
— вещественное и неотрицательное число, а показатель 
может принимать не только вещественные, но и комплексные значения. Для этого можно взять некоторое характеристическое свойство функций 
для вещественных значений х (т. е. такое свойство, которым обладают только эти функции), которое поддается переносу на случай комплексных значений независимого переменного, и, пользуясь именно этим свойством, распространить определение функции на комплексные значения аргумента.
Нам будет удобно, положив 
рассматривать функции
Лемма. Если непрерывная функция 
отлична от тождественного нуля и такова, что для любых х и у
то
при некотором а.
Доказательство. Прежде всего, возьмем такое х, что 
. По условию леммы такое х непременно найдется. Для этого значения х должно быть
откуда
Кроме того, мы имеем
Если бы было 
то, очевидно, при любом целом 
и в силу обусловленной непрерывности функции 
что противоречит (7.4). Значит, в (7.5) имеет место строгое неравенство.
Следовательно, найдется такое а, что
Далее, для любого значения х вида 
(где 
— целое положительное число) мы имеем
откуда
Пусть теперь 
где 
— целое отрицательное число.
Тогда 
будет целым положительным числом, и мы на основании условия леммы имеем
Но по предыдущему
так что (7.6) дает нам
Для рационального значения 
должно быть поэтому
Пусть, наконец, х принимает произвольное вещественное значение 
Как известно, можно составить
последовательность рациональных чисел (например, десятичных дробей) 
сходящихся к 
Тогда на основании обусловленной непрерывности функции 
и известной непрерывности функции 
будет
Объединяя все сказанное, мы видим, что
для всех значений х, а это и требовалось.
Следствие. Если функция 
удовлетворяет условиям леммы (т. е. при любых х и у выполняется равенство 
и
то
Доказательство. Согласно лемме должно быть
и, в частности,
Вместе с (7.7) это дает нам 
откуда и следует требуемое.
Теорема. Пусть значение функции 
для любого вещественного или комплексного 
определено как сумма ряда
Тогда функция 
непрерывна, отлична от тождественного нуля и для любых комплексных 
Доказательство. Ряд (7.8) сходится при любом вещественном значении 
Следовательно, по теореме о непрерывности суммы ряда (§ 5 главы 6) f(z) является непрерывной при любом вещественном значении 
функцией. Кроме того, 
отлична от тождественного нуля (например, 
).
По правилу умножения рядов «по Коши» (см. § 5 главы 4) мы имеем
или, объединяя слагаемые «по диагональным линиям», мы получаем
Из этой теоремы следует, что сумма ряда (7.8), как функция 
обладает тем важным характеристическим свойством функции 
которое выделяет ее из всех непрерывных функций. Поэтому естественно определить значение суммы ряда (7.8) при произвольном 
вещественном или комплексном, как значение фунции 
