§ 4. Последовательности разностей

Определение. Последовательностью разностей (точнее, первых разностей) для последовательности

называется последовательность

где

Последовательностью (первых) разностей для последовательности (14.14) является

где

Она называется последовательностью вторых разностей для исходной последовательности (14.13).

Аналогично определяются последовательности третьих, четвертых и т. д. разностей. Вообще, если для последовательности (14.13) определена последовательность разностей

то последовательностью разностей для нее называется последовательность

где

Иногда для единообразия сама последовательность называется последовательностью своих нулевых разностей, и это отражается в обозначении:

Члены различных последовательностей разностей данной последовательности (14.13) удобно располагать в следующем «треугольном» виде:

Согласно определению разностей их можно определять последовательно одну за другой. Вместе с тем можно вычислять сразу сколь угодно высокие разности и непосредственно.

Лемма. Для любых

Доказательство ведется индукцией по

При формула (14.17) приобретает вид

что верно на основании определения.

Предположим теперь, что формула (14.17) справедлива при данном и любых значениях Заменив в ней на мы получаем

Вычитая из формулы (14.17) формулу (14.18) почленно и объединяя справа слагаемые с одинаковыми номерами членов и, мы имеем

Ввиду того, что

а по определению

формулу (14.19) можно переписать как

а это и требовалось.

Следствие. Полагая в формуле мы для любого имеем