Очевидно, получившийся ряд будет зависеть от того, как именно мы произведем доопределение нашей первоначально заданной функции на промежутке 
При этом нам могут представиться различные варианты. Рассмотрим два из них.
Во-первых, мы можем продолжить функцию 
на промежуток 
по четности, т. е. положить
(рис. 10). Тогда мы будем иметь дело с четной функцией, которая, в соответствии со сказанным в § 9, разлагается в ряд по косинусам согласно формуле (9.20).
Рис. 10.
Рис. 11.
Во-вторых, мы можем продолжить функцию 
на промежуток 
по нечетности, т. е. положить
(рис. 11). В этом случае мы будем иметь дело с нечетной функцией, которая разлагается в ряд по синусам согласно формуле (9.22).
Не следует думать, что нам удалось получить для одной и той же функции два различных разложения в ряд Фурье. В действительности мы разлагали весьма отличающиеся друг от друга функции (они могут отличаться друг от друга на всем промежутке 
и только отбросили часть полученного ответа, отказываясь использовать разложение в ряд Фурье для отрицательных значений х
Поясним сказанное на примере.
Пример. Разложим на сегменте 
функцию 
в ряды Фурье по синусам и по косинусам (что будет отвечать соответственно
продолжению этой функции на сегмент 
по нечетности и по четности).
Разложение этой функции по синусам было нами получено в § 5:
Для того чтобы найти разложение в ряд по косинусам, вычислим интегралы
Таким образом другое интересующее нас разложение будет иметь вид
Как и в случае примера из § 9, сходимость этого ряда — равномерная на всем сегменте 
.
ряд Фурье функций на сегменте от 0 до пи
задана нам только на сегменте 
. Чтобы разложить ее в ряд Фурье на этом отрезке, мы можем поступить следующим образом. Доопределим нашу функцию на сегменте 
Мы будем тогда иметь функцию, заданную на всем сегменте 
, и получим возможность разлагать доопределенную функцию в ряд Фурье на всем сегменте 
.
(добавочная часть на промежутке 
«пристраивается» сравнительно произвольно на основании главным образом соображений удобства), мы полученный ряд Фурье должны рассматривать только для тех значений переменной х, которые расположены в сегменте 
.
