ГЛАВА 13. ДВОЙНЫЕ РЯДЫ

§ 1. Определение двойного ряда

Вернемся к определению числового ряда, сформулированному в § 2 главы 2. В его основе лежит рассмотрение некоторой числовой последовательности

т. е. множества чисел, элементам которого приписаны целые положительные индексы (номера). Мы можем поэтому считать, что последовательность (13.1) есть функция, которая каждому целому положительному номеру ставит в соответствие число Эта функция, очевидно, является функцией от одного независимого аргумента.

Как известно, представляют интерес и рассматриваются также функции от нескольких аргументов. В частности, можно рассматривать и функцию, которая каждой паре целых положительных чисел ставит в соответствие число (Это число можно также обозначить через Такую функцию мы можем задать таблицей вида

Обратим внимание на то, что в этой таблице и число (множество) строк бесконечно и каждая из строк содержит бесконечное число (множество) членов.

Пример. Пусть все строки таблицы вида (13.2) являются геометрическими прогрессиями с одним и тем же знаменателем а ее столбцы — прогрессиями со знаменателем Очевидно; в этом случае

Такую таблицу естественно назвать двойной прогрессией, а числа ее знаменателями.

Числовой ряд определяется как формальная запись процесса суммирования чисел (13.1):

Определение. Формальная запись процесса суммирования чисел, составляющих таблицу (13.2),

называется двойным рядом. Как и в случае простых рядов, мы можем начинать нумерацию строк (и членов в каждой строке) не обязательно с первого номера.

Двойной ряд (13.4) можно обозначать также как или, если область значений номеров не вызывает сомнений, просто как

Очевидно, как строки, так и столбцы двойного ряда (13.4) являются простыми рядами. Далее мы будем на этом основании говорить о сходимости строк или столбцов двойных рядов.