§ 2. Начальные и граничные условия

Уравнению (10.3) удовлетворяет всякое свободное коле» бание струны, независимо от его физического происхождения, а также от способов закрепления концов струны в точках

Вместе с тем совершенно ясно, что если мы выведем струну из положения равновесия и представим самой себе, то характер ее колебаний будет один, а если, выведя из состояния равновесия, придадим ее точкам те или иные скорости, - то другой. Кроме того, неподвижное и подвижное закрепления концов струны приводят, как можно достаточно наглядно себе представить, к весьма различным ее движениям.

Из сказанного следует, что для определения движения струны, кроме уравнения (10.3), необходимо еще задать начальные условия, описывающие поведение струны в начальный момент времени т. е. ту форму, которую струна приобретает при выводе ее из положения равновесия,

и те скорости, которые сообщаются точкам струны при «отпускании» ее:

Кроме того, необходимо задать граничные условия задачи, т. е. описать характер поведения концов струны в процессе ее колебаний. Мы ограничимся простейшим случаем граничных условий, когда концы струны закреплены неподвижно:

Разумеется, в частности, может оказаться, что в начальный момент времени струна не имеет отклонения от равновесного состояния или же неподвижна

Граничные условия задачи вместе с начальными ее условиями иногда называются краевыми условиями.