§ 7. Определение равномерной сходимости функционального ряда и признак Вейерштрасса

Определение. Функциональный ряд

называется сходящимся в некоторой области равномерно, если в этой области последовательность его частичных сумм

сходится равномерно к своей предельной функции

Весьма удобный признак равномерной сходимости функционального ряда был предложен Вейерштрассом. Этот признак имеет вид следующей теоремы.

Теорема (признак равномерной сходимости Вейерштрасса). Функциональный ряд

каждый член которого является функцией, определенной

на сегменте сходится равномерно на этом сегменте, если существует такая последовательность

положительных постоянных, что

для любого х из и любого а ряд

сходится.

Иногда в условиях этой теоремы функциональный ряд (5.32) называется мажорируемым, числовой ряд (5.34) — мажорирующим, а сама теорема — теоремой о мажорировании.

Доказательство. Из (5.33) и (5.34) мы на основании признака сравнения (см. § 2 главы 3) можем заключить о сходимости функционального ряда (5.32) в каждой точке сегмента Это значит, что мы можем говорить о сумме функционального ряда (5.32) как о функции определенной для каждого х из этого сегмента.

В силу сходимости ряда (5.34) (обозначим его сумму через возьмем теперь произвольное и найдем по нему такое что при

т. е.

Напишем для этого

где

Из (5.33), (5.35) и (5.36) следует, что

при любых из рассматриваемого сегмента. Таким образом, мы по каждому находим такое что при имеет место

для любого х. Это и означает равномерную сходимость ряда.

Пример. Функциональный ряд

сходится равномерно для всех вещественных х, потому что при всех

а ряд

как известно, сходится.

Часто оказывается полезным прием, позволяющий судить о равномерной сходимости одного функционального ряда на основании равномерной и абсолютной сходимости другого.

Теорема. Если функциональный ряд

сходится в некоторой области равномерно и абсолютно, а функции в этой области равномерно ограничены в совокупности, то ряд

также сходится в этой области равномерно и абсолютно.

Доказательство. Обозначим остаток ряда модулей для ряда (5.37)

через По условию с ростом величина стремится к нулю равномерно по х.

Для остатка ряда модулей для ряда (5.38) мы имеем

Но из ограниченности функций следует существование такого С, что для всех

Тогда

так что также должно стремиться с ростом к нулю равномерно по х.

Описываемый этой теоремой признак сходимости напоминает второй признак сравнения для рядов с положительными членами (см. § 2 главы 3).