§ 4. Нормированные и ортогональные системы функций

Рассмотрим теперь последовательность функций

заданных и непрерывных на сегменте среди которых нет функции, тождественно равной нулю.

Определение. Последовательность (8.26) называется нормированной на сегменте если нормирована каждая функция последовательности, т. е. если

Последовательность (8.26) называется ортогональной на сегменте если ортогональны на этом сегменте две различные входящие в нее функции, т. е. если

Последовательность (8.26) называется ортонормальной (или ортонормированной) на некотором сегменте, если она является нормированной и ортогональной, т. е.

Пример. Система функций

называется системой тригонометрических функций. Эта система ортогональна на сегменте . В самом деле (мы далее будем для единообразия полагать при

Далее, при

и, наконец, при любых

Здесь интеграл от каждого из слагаемых равен нулю, потому что при

а при

тождественно на

Таким образом, система (8.27) на сегменте является ортогональной. Нормированной на сегменте эта система не будет, так как

и нормой каждой из функций является а норма единицы, очевидно, равна