§ 2. Векторы и функции

Всякий вектор, понимаемый как последовательность чисел, является своего рода функцией. При этом независимой переменной можно считать номер компоненты

вектора, а зависимой переменной — величину компоненты. Так, например, вектор (3, 7, — 12) может быть задан и в виде таблицы:

С другой стороны, и функции обладают многими основными свойствами векторов. Их можно, подобно векторам, складывать, причем значения функции-суммы равны суммам соответствующих значений функций-слагаемых. Их можно и умножать на число, причем на это число умножается каждое значение умножаемой функции.

Оказывается, что для функций удается обнаружить аналоги и дальнейших понятий векторной алгебры: нормы, скалярного произведения (тем самым можно в каком-то смысле говорить и о «косинусе угла между двумя функциями»), ортогональной и ортонормальной систем и разложений по таким системам; разумеется, он не имеет ничего общего с косинусами углов между графиками этих функций в точках их пересечения (как, впрочем, и в каких-либо других точках).

В § 1 речь шла о конечномерных пространствах. В таких пространствах удается найти конечную (т. е. состоящую из конечного числа векторов) ортогональную систему, по которой можно разложить любой вектор пространства. Пространство функций вещественного аргумента конечномерным уже не является, и потому такой конечной ортогональной системы в нем найти не удастся. В связи с этим возникает вопрос о поисках бесконечных систем функций, которые могли бы стать основой разложения достаточно разнообразных функций, и о нахождении коэффициентов в этих разложениях.

Но разложение функций по бесконечной системе перестает быть обычной суммой, превращаясь в ряд или даже в интеграл. Такого рода разложения будут рассматриваться в оставшихся главах курса.