§ 11. Поведение рядов Фурье функций в точках их разрыва. Явление Гиббса

Обратимся к рассмотрению сходимости рядов Фурье к своим функциям в точках их разрыва. Замечательным здесь является то, что (в обозначениях предыдущего параграфа), какова бы ни была функция и ее изолированная точка разрыва множество предельных точек перекрывает сегмент между симметричным образом и превосходит его по длине в каждую сторону на долю

где есть уже встречавшаяся нам (см. пример 1 из § 12 главы 7) функция интегрального синуса. Этот факт был замечен Гиббсом на примере разложения в ряд Фурье функции

(см. § 6 главы 9) и получил название явления Гиббса.

Чтобы воспроизвести результат Гиббса, рассмотрим поведение сумм Фурье функции Мы имеем

или

Но при

Продолжая это равенство по непрерывности и на мы получаем

Будем исследовать превышения значений суммы Фурье над соответствующими значениями функции

Отметим прежде всего, что стоящий справа интеграл, согласно сказанному в конце § 2, сходится с ростом равномерно по из любого сегмента вида при Следовательно, равномерно в любом таком сегменте сходятся к своей предельной функции и суммы Фурье

Локальные максимумы правой части (16.48) достигаются в точках, для которых

Но из (16.45) видно, что

В нуль эта дробь при обращается в точках

Далее мы имеем

Знаменатель последней дроби, очевидно, положителен. Значит, при нечетном, т. е. вида имеет место (16.49), и такие точки являются локальными

максимумами функции (при четных значениях соответствующие точки оказываются локальными минимумами). Значение этой функции в точке согласно (16.48), может быть записано как

Перейдем от переменной к переменной и, полагая в интеграле

Мы получаем

Ввиду того, что должно быть

Поэтому с ростом при любом и возрастает, так что последний интеграл с ростом убывает. Отсюда следует, что локальные максимумы превышения убывают слева направо, и первый из них достигаемый при будет наибольшим. В этой точке мы имеем

а, переходя к пределу при возрастании

Но для последнего предела имеет место

где - функция интегрального синуса, о которой упоминалось в примере 1 § 12 главы 7.

Таким образом, (16.50) переписывается как

и потому в обозначениях предыдущего параграфа

С другой стороны, возьмем произвольную сходящуюся справа к нулю последовательность Сравнивая достижимые на этой последовательности превышения с наибольшими, мы имеем

или, переходя к пределу по

т. е.

Но так как это неравенстбо справедливо для любой последовательности число должно быть не меньше, чем наибольшее из них по всем последовательностям, т. е.

что вместе с (16.51) дает

Нам остается перейти от абсолютных величин превышений к относительным. Доля гиббсова превышения от скачка

функции будет составлять

а это и требовалось. Графики функций справа от нуля, а также верхняя половина гиббсова отрезка изображены на рис. 25.

Переход к рассмотрению явления Гиббса для довольно широкого класса функций теперь уже не составляет труда и может быть проведен при помощи метода выделения особенностей.

Теорема. Пусть — заданная на сегменте ограниченная, кусочно непрерывная и кусочно дифференцируемая функция с абсолютно интегрируемой второй производной.

Тогда в любой точке разрыва х функции имеет место явление Гиббса:

Доказательство. Пусть — все точки разрыва функции Для каждого сдвинем в соответствии со сказанным в § 6 главы 9 сегмент разложения функции из (16.45) на х вправо и умножим сдвинутую функцию на

Рис. 25.

Полученную функцию мы обозначим через Очевидно, она задана на сегменте , имеет единственную точку разрыва х с той же величиной скачка, что и функция в точке и дифференцируема во всех точках, отличных от х. Согласно сделанному выше замечанию суммы Фурье функции сходятся к ней равномерно вне любой окрестности точки разрыва

Значит, сумма является функцией с теми же точками разрыва и скачками в них, что и функция а ее суммы Фурье, являющиеся суммами соответствующих сумм Фурье функций сходятся к ней равномерно (см. теорему из § 3 главы 5), за исключением любых наперед заданных окрестностей точек разрыва. Обозначим через сумму Фурье функции Функция

является непрерывной кусочно дифференцируемой функцией с абсолютно интегрируемой второй производной. Согласно теореме § 9 ее суммы Фурье, каковыми будут

сходятся к ней равномерно.

Возьмем теперь произвольную точку разрыва функции . Пусть для определенности функция в этой точке возрастает, т. е. Пусть

— произвольная последовательность точек непрерывности сходящаяся к х справа. Мы имеем

или, обращаясь к суммам Фурье этих функций,

Переход к значениям этих сумм Фурье в точках дает нам

а переход по к пределу —

В силу равномерной сходимости к функции ее сумм Фурье, первый предел справа равен значению функции По тем же причинам значению функции в точке х равен второй предел. В результате, переходя к пределам и заменяя под знаками непрерывных функций на мы можем написать

Подберем последовательность так, чтобы оставшийся справа предел в (16.53) был максимальным. По разобранному в начале параграфа явлению Гиббса для функции он будет равен

Кроме того, по определению функции должно быть

Предел в (16.53) слева тогда тоже принимает свое максимальное значение; согласно принятым обозначениям это будет Тогда подстановка (16.54) и (16.55) в (16.53) дает нам непосредственно

В случае убывания функции в ее точке разрыва х мы сходным образом получаем

Вместе с (16.56) это дает нам левое равенство в (16.52).

Правое равенство в (16.52) получается аналогично.

Явление Гиббса может наблюдаться, как реальный факт. Предположим, что некоторое периодическое колебание с разрывами подвергается преобразованию, полностью гасящему все гармоники с достаточно высокими частотами (такие преобразования, равно, как и осуществляющие их устройства, принято называть фильтрами). Тогда, измеряя величину отклонения вблизи точки разрыва, мы можем наблюдать не просто различные значения между верхним и нижним пределами в этой точке, но и значения, выходящие за пределы этого интервала.