§ 5. Равномерная сходимость ряда в круге его сходимости

Теорема. Степенной ряд сходится равномерно в любом замкнутом круге, содержащемся в его круге сходимости. Доказательство. Пусть

— степенной ряд и — его радиус сходимости. Возьмем произвольный замкнутый круг, лежащий внутри круга сходимости. Очевидно, можно считать, что центр меньшего круга также находится в точке 0. (Точнее говоря, всякий меньший круг можно вхватить кругом с центром в точке 0 и целиком содержащимся в круге сходимости; равномерная сходимость ряда в охватывающем круге влечет

равномерную сходимость и в меньшем круге.) Пусть — его радиус. Возьмем точку лежащую в кольце между нашими двумя кругами. Так как эта точка расположена внутри круга сходимости степенного ряда (6.9), ряд

сходится абсолютно. Но при любом из меньшего круга

Поэтому

Следовательно, по признаку Вейерштрасса (см. § 7 главы 5) ряд

сходится в меньшем круге равномерно.

Теорема (о непрерывности суммы ряда). В любой замкнутой области, лежащей внутри круга сходимости ряда, сумма ряда является непрерывной функцией.

Доказательство. Каждая частичная сумма степенного ряда, очевидно, есть непрерывная функция. Поскольку по предыдущему в любой замкнутой области внутри круга сходимости ряда сходимость является равномерной, сумма ряда, являющаяся пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций, на основании сказанного в § 4 главы 5 сама является непрерывной функцией.

Доказанные теоремы открывают возможности почленного интегрирования и дифференцирования степенных рядов. Мы обсудим эти возможности раздельно для вещественных и комплексных степенных рядов.