§ 13. Суммирование рядов Фурье по Чезаро. Теорема Фейера

Возникает естественный вопрос об условиях, которым должна удовлетворять функция чтобы ее ряд Фурье воспроизводил ее значения. Достаточными являются условия Дирихле, но они иногда могут представляться слишком стеснительными. Вместе с тем и значения функции не обязательно должны получаться как обычная сумма ряда Фурье, а могут определяться и иным, более общим образом.

Ответ на один из вариантов поставленного вопроса связан с переходом от обычного суммирования ряда Фурье функции к его суммированию по Чезаро (см. § 7 главы 15).

Именно, имеет место следующее утверждение.

Теорема Фейера. Если функция интегрируема на сегменте и периодична с периодом то для всякой точки х, для которой существует предел

ряд Фурье суммируем в этой точке по Чезаро и имеет в ней сумму

Доказательство. На основании (16.26) для частичной суммы Фурье функции в точке х мы имеем

Приведем выражение в правой части к более удобному для нас виду интеграла Дирихле (см. начало § 3). Пользуясь описанным в § 6 главы 9 сдвигом сегмента разложения, мы можем написать

Разбивая этот интеграл на две части: от до 0 и от О до , заменим в первом интеграле на и переменим местами пределы интегрирования; тогда интеграл приобретает вид

Сдвигая сегмент разложения, во втором интеграле мы получаем

Все вместе это дает

или, производя подстановку вместо

Полагая последовательно и складывая таких равенств, мы получаем

при (переход к можно осуществить по непрерывности)

Выражение

мы обозначим через и будем называть суммой Фейера для функции

Учитывая (16.59), мы можем написать

Стоящий здесь интеграл обычно называют интегралом Фейера.

Заметим, что для функции «нулевой» коэффициент Фурье равен 2, а все остальные коэффициенты Фурье суть нули. Поэтому все частичные суммы ряда Фурье для этой функции равны единице, суммы Фейера от нее также равны единице, так что и интеграл Фейера от нее должен быть равен единице:

Пусть теперь — произвольная интегрируемая на функция, для которой Покажем, что

Возьмем с этой целью произвольное и найдем в соответствии с предельным условием на такое что из следует и разобьем промежуток интегрирования на две части: от 0 до и от до Для интеграла по первой части мы будем иметь с учетом (16.61)

Вместе с тем для интеграла по второй части промежутка

Интегрируемость функции на означает ограниченность последнего интеграла, по крайней мере при достаточно малом 6, так что при достаточно большом вся правая часть станет меньше чем , и (16.62) установлено.

Теперь мы можем, умножив (16.61) на и отняв почленно от (16.60), получить

По условию первый сомножитель под знаком интеграла вместе с стремится к дулю. Но тогда по только что доказанному к нулю должен стремиться и весь интеграл. Теорема доказана.

Заметим, что описываемая в теореме Фейера сходимость зависит от конкретного значения х лишь в той мере, в какой от х зависит сходимость полусуммы к пределу Если же функция на сегменте непрерывна, а поэтому и равномерно непрерывна, то и сходимость указанной полусуммы к (каковое значение в случае непрерывности просто совпадает с будет равномерной по х на сегменте Это значит, что равномерной будет сходимость сумм Фейера к .

Таким образом, для случая непрерывных функций теорема Фейера дает следующий весьма законченно выглядящий результат.

Теорема 2. Если функция непрерывна на сегменте то ряд Фурье этой функции в каждой точке х этого сегмента суммируем по Чезаро с суммой причем сходимость сумм Фейера является равномерной на всем сегменте .