§ 14. Равенство Парсеваля

В качестве первого примера применения теоремы Фейера выведем важное равенство Парсеваля.

Теорема 1. Если — заданная на ограниченная функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, и

— ее ряд Фурье, то

(последнее равенство и называется равенством Парсеваля).

Доказательство. Заметим сначала, что при любом в силу экстремальности сумм Фурье (см. § 12)

(где, как обычно — суммы Фурье, а — суммы Фейера для ряда (16.63)). Покажем, что стоящий справа интеграл с ростом стремится к нулю. Заключим для этого каждую из точек разрыва функции в малый интервал и обозначим сумму (объединение) всех этих интервалов через о, а ее дополнение до сегмента через Возьмем сумму Фейера функции и напишем равенство

и будем оценивать каждый из стоящих справа интегралов.

Обозначим верхнюю границу на со через М, а сумму длин составляющих со интервалов через а. В любой точке непрерывности функции в интеграле Фейера полусумма пределов функции справа и слева может быть заменена просто на значение функции, и формула (16.60)

приобретает вид

так что в нашем случае с учетом (16.61) на основании первой теоремы о среднем будет

Поэтому во всяком случае

и мы получаем

С другой стороны, в силу равномерной на сходимости сумм Фейера к функции каково бы ни было начиная с некоторого будет Таким образом,

В итоге мы получаем

причем выбираемые заранее могут быть взяты сколь угодно малыми. Но тогда в силу (16.64)

Заметим, что ввиду неотрицательности подынтегральной функции неотрицательным должен быть и сам интеграл.

Далее мы имеем стандартным образом

или, пользуясь формулами (8.27)-(8.29), (9.5)-(9.7) и элементарными тригонометрическими фактами,

или

и окончательно

Отсюда требуемое следует немедленно.

Равенство Парсеваля представляет собой естественное обобщение на ортонормальную систему тригонометрических функций теоремы Пифагора Механический его смысл (см. § 4 главы 9) состоит в том, что при рассмотрении любого -периодического движения материальной точки энергия этого движения (определяемая интегралом от квадрата амплитуды) полностью исчерпывается энергиями составляющих его гармоник.

В § 14 главы 9 было установлено, что функции из весьма широкого класса разлагаются в тригонометрические ряды единственным образом. Равенство Парсеваля дает возможность в некотором смысле обратное утверждение.

Теорема 2. Один и тот же тригонометрический ряд может быть рядом Фурье не более чем одной заданной на непрерывной функции.

Доказательство. Пусть и — заданные на непрерывные функции с одними и теми же коэффициентами Фурье. Из самого вида формул немедленно вытекает, что в этом случае все коэффициенты Фурье разности суть нули. Но разность вместе с функциями является непрерывной на функцией, и к ней применимо равенство Парсеваля, имеющее в данном случае вид

Для непрерывных же функций и это возможно лишь при их тождественном равенстве.