§ 5. Переход к пределу под знаком интеграла

Теорема. Если последовательность непрерывных на сегменте функций

сходится равномерно в этом сегменте к предельной функции , то при любых

Доказательство. Заметим прежде всего, что в наших условиях предельная функция является

непрерывной (см. § 4), и потому интеграл

имеет смысл.

Ввиду обусловленной равномерной сходимости последовательности (5.27) к предельной функции по любому найдется такое что при для любого будет выполняться неравенство

Поэтому

Таким образом, по произвольному нашлось такое что при

а это и означает сходимость (5.28).

Следствие (предельный переход под знаком интеграла с переменным верхним пределом). Если последовательность непрерывных в сегменте функций (5.27) сходится равномерно в этом сегменте к предельной функции то при любом х из этого же сегмента последовательность интегралов

с переменным верхним пределом, как последовательность функций сходится к функции

равномерно для всех х из сегмента

Доказательства Мы можем положить в доказательстве теоремы и получить тем самым сходимость последовательности интегралов (5.29) к интегралу (5.30). Поскольку в условиях теоремы выбор по соответствующего не зависит от в условиях следствия, от эта сходимость оказывается равномерной.