§ 2. Изгиб балки

Будем далее называть балкой достаточно жесткое и тонкое упругое тело. Тонкость и жесткость балки понимаются в том смысле, что как поперечные ее размеры, так и перемещения точек в результате приложения к балке усилий считаются достаточно малыми по сравнению с ее длиной. Мы будем предполагать балку прямолинейной, т. е. считать, что отклонениями ее формы от прямолинейного отрезка можно пренебречь. В отличие от струны (см. § 1 главы 10), балка оказывает сопротивление только изгибающим (т. е. изменяющим кривизну) усилиям. Напротив, мы будем считать, что растягивающим (т. е. изменяющим длину балки как целого) усилиям балка вовсе не поддается. В этом параграфе содержится формальный вывод дифференциальных соотношений, связывающих нагрузку, приложенную к балке, с деформациями балки.

Предположим, что балка расположена вдоль оси между точками Вертикальное перемещение точки балки с абсциссой х будем обозначать через Положительным на оси будем считать направление вниз (рис. 26). Мы ограничимся рассмотрением плоского изгиба, т. е. будем предполагать, что все прикладываемые к балке усилия действуют в плоскости

Для каждой системы нагрузок приложенных к балке, будем через. обозначать вызываемый ею (а также порожденными ею реакциями опор) изгибающий момент в сечении х этой балки.

Рис. 26.

Рассмотрим теперь две прикладываемые к балке системы нагрузок, и

Мы будем при этом предполагать, что изгибающие усилия, порождаемые нагрузкой приложенной к предварительно ненагруженной балке, совпадают с дополнительными изгибающими усилиями возникающими в балке, к которой предварительно приложена нагрузка Иными словами, мы будем считать, что

Разумеется, такое предположение носит чисто физический характер и должно каждый раз проверяться. Ясно вместе с тем, что если нагрузка «не очень сильно» изменяет прямолинейную форму балки, а нагрузка — поперечная, то предположение (17.1) не противоречит обстоятельствам дела.

Из (17.1), предполагая «непрерывность» зависимости значения изгибающего момента в каждой точке х от нагрузки и обозначая через нагрузку «умноженную» на а (т. е. увеличенную в а раз, если , и уменьшенную в раз, если ), мы можем получить, что

Возьмем балку, на которую действует распределенная нагрузка имеющая некоторую интенсивность в каждой точке х. Пусть характер прикрепления балки

к несущим ее конструкциям таков, что реакция левой ее опоры состоит из силы Р и момента М (рис. 27). В этом случае изгибающий момент в поперечном сечении балки с абсциссой х равен, как легко подсчитать,

Дифференцируя это выражение по х (последнее слагаемое дифференцируется, во-первых, как интеграл с переменным верхним пределом х, а во-вторых, как интеграл, зависящий от параметра мы получаем

Повторное дифференцирование дает нам

Обратимся теперь к деформациям балок.

Пусть приложенная к балке нагрузка состоит из двух моментов, приложенных к ее концам, которые равны по величине М, противоположны по направлению и изгибают балку выпуклостью вниз (т. е. в направлении возрастания

Рис. 27,

Рис. 28.

Будем считать, что никаких других усилий к балке не приложено. В результате действия на балку двух указанных моментов правый конец балки повернется относительно левого на некоторый угол, который мы обозначим через (рис. 28). Этот угол, очевидно, является некоторой функцией изгибающего момента М:

Предположим, что есть линейная функция

Это предположение соответствует закону Гука о пропорциональности деформаций усилиям. В условиях выбранных нами направлений изгибающих моментов и осей координат (х - направо, a v - вниз) угол оказывается отрицательным. Поэтому должно быть

Считая впредь рассматриваемую балку однородной по длине, можно показать, как это делается во всех курсах сопротивления материалов, что

где — длина изгибаемой балки, — момент инерции ее поперечного сечения относительно горизонтальной прямой, лежащей в плоскости этого сечения и проходящей через его центр тяжести, модуль Юнга материала балки.

В целях полноты изложения напомним этот вывод.

Рис. 29.

В теории изгиба призматических балок обычно принимается «гипотеза плоских сечений» Сен-Венана. Она состоит в предположении, что каждое поперечное сечение ненагруженной балки после приложения к ней изгибающей нагрузки остается плоским и лишь поворачивается около оси изгибающего момента. Формально это равносильно предположению о том, что абсолютное удлинение в направлении каждой нормали к сечению есть линейная функция координаты характеризующей положение этой нормали по высоте балки. Тем самым линейной функцией координаты должно быть и нормальное напряжение в каждой точке сечения.

Заметим, что при отсутствии продольной нагрузки на балку равнодействующая внутренних продольных усилий в каждом ее сечении должна быть равна нулю. Значит, при одних значениях нормальные напряжения положительны, а при других — отрицательны. В качестве начала отсчета выберем тот уровень по высоте балки, на

котором нормальные напряжения (а потому — и удлинения) равны нулю.

На рис. 29 изображен график удлинения в зависимости от Поскольку балка предполагается жесткой, и углы ее поворота — малыми, угол можно по величине отождествить с его тангенсом и (с учетом выбора направлений осей) написать:

А так как напряжение определяется соотношением

должно быть

Обозначим через ширину балки на уровне Тогда усилие, действующее в «элементарном слое» будет равно

а момент всех таких усилий относительно оси —

Последний интеграл есть момент инерции сечения относительно «нейтрального слоя» Таким образом, — что вместе с (17.6) и дает (17.7).

В условиях рассматриваемой на рис. 28 нагрузки в каждом поперечном сечении балки с абсциссой х возникает изгибающий момент который, очевидно, постоянен по длине балки и равен М:

Из (17.6), (17.7) и (17.8) следует, что

Отношение есть угол поворота балки, отнесенный к единице ее длины, т. е. средняя кривизна балки. Поскольку в наших условиях балка однородна и действующий

в ней изгибающий момент постоянен по ее длине, кривизна балки во всех ее точках одинакова и равна средней кривизне. Но в условиях предполагаемой жесткости балки ее кривизну можно принять равной второй производной вертикального смещения точки балки по ее длине. Поэтому

Вместе с (17.9) это дает нам

Заметим теперь, что кривизна («искривленность») изогнутой балки в некоторой ее точке х зависит только от изгибающего момента в этой точке не зависит от того, какими будут его значения в остальных точках балки. «Физически» (т. е. интуитивно) это представляется совершенно очевидным, а с формальной точки зрения это соответствует принимаемой при изучении напряжений в теле возможности отсекать любую его часть и заменять ее действие на оставшуюся часть тела надлежащей системой сил.

Значит, для каждой точки х балки можно написать

независимо от приложенной к балке нагрузки Иными словами, функция прогиба балки связана с действующим в балке изгибающим моментом дифференциальным уравнением

Из (17.12) следует, что, какова бы ни была дважды интегрируемая функция описывающая изгибающий момент в балке, можно указать соответствующую ей функцию описывающую прогибы этой балки. Эта функция определяется по единственным образом с точностью до линейного слагаемого , соответствующего перемещениям балки как твердого тела. Для определения постоянных А и В следует указывать те или иные способы закрепления концов балки. Коль скоро эти

способы закрепления указаны, функция прогиба определяется по функции изгибающего момента однозначно.

С другой стороны, из того же равенства (17.12) следует, что по любой дважды дифференцируемой функции для которой выполняются те или иные начальные (или краевые) условия, отвечающие кинематическим условиям закрепления балки, можно указать такую функцию что приложение к балке усилий, приводящих в каждой ее точке х к изгибающему моменту породит в каждой точке х вертикальное смещение

Ввиду линейности дифференциального уравнения (17.12) при любых нагрузках и для которых выполняется (17.1), должно иметь место и

а при любом вещественном а из (17.2) следует:

Отсюда в свою очередь вытекает, что при исключении перемещения балки как твердого тела должно быть

и

Отметим, наконец, что из (17.4) и (17.12) следует:

Это соотношение принято называть дифференциальным уравнением изгиба балки.