§ 11. Вторая возможность ограничиться двукратным дифференцированием. Потенциальная энергия изгиба балки

Рассмотрим, как и в § 2, изгиб незакрепленной балки длины моментами, приложенными к ее концам (см. рис 22).

При изменении момента от М до определяемый соотношением (17.5) угол поворота правого конца балки относительно левого изменится на Следовательно, приложенный к правому концу балки изгибающий момент произведет работу

где М — некоторое промежуточное между М и значение изгибающего момента. Мы можем положить

и переписать выражение для работы (17.64) как

Пусть теперь изгибающий момент М изменяется, возрастая непрерывно от нуля до некоторого окончательного значения (а угол — соответственно от нуля до «Мгновенная» работа этого момента, когда его значение равно М, получается из (17.65) при и равна а полная работа —

В частности, если есть линейная функция М (см. формулу (17.6)), то выражение (17.66) для работы изгибающего момента запишется как

или, выполняя интегрирование, получим

Иначе, с учетом (17.7), это равенство переписывается как

Работа приложенного извне усилия переходит в потенциальную энергию изгиба балки. Поскольку балка однородна и, кроме того, в условиях приложенных к ней внешних усилий изгибающий момент во всех ее точках один и тот же, потенциальная энергия изгиба балки распределена равномерно по ее длине. Это значит, что потенциальная энергия изгиба в каждом участке балки пропорциональна длине этого участка. Поэтому, если взять элемент балки длины то заключенная в нем потенциальная энергия будет равна

Но есть угол поворота поперечного сечения балки, отнесенный к ее длине, т. е. кривизна балки. В условиях предполагаемой жесткости балки ее кривизну можно принять равной второй производной смещения точки балки по ее длине: Вместе с (17.9) и (17.10) это дает нам, что потенциальная энергия изгиба балки на участке длины равна

Далее, количество потенциальной энергии изгиба балки, заключенное в элементе ее длины, зависит только от изгибающего момента в точках этого элемента и не зависит от того, какими будут значения изгибающего момента в остальных точках балки.

Таким образом, «плотность» потенциальной энергии изгиба балки по ее длине в точке х при наличии изгибающего момента М в этой точке равна

Значит, выражение (17.69) описывает плотность потенциальной энергии в балке в той ее точке х, в которой изгибающий момент равен М, независимо от того, чему равен изгибающий момент в остальных ее точках. В частности, эта плотность не зависит ни от характера загрузки балки в целом, ни от способа ее закрепления на опорах.

Поэтому, если внешняя нагрузка на балку такова, что в каждой ее точке х изгибающий момент равен то потенциальная энергия изгиба всей балки равна