§ 9. Разложение четной функции в ряд Фурье

Пусть функция задана на сегменте , удовлетворяет условиям Дирихле и является четной. Тогда произведение

при любом должно быть нечетной функцией, и потому

Таким образом, при разложении четной функции в ряд Фурье все коэффициенты этого ряда при синусах обращаются в нуль, и разложение принимает вид

где

Описываемое формулой (9.20) представление функции называется ее разложением в ряд «по косинусам».

Пример. Найдем разложение в ряд Фурье по косинусам четной функции на сегменте .

В этом случае мы имеем

Для вычисления при применим дважды интегрирование по частям:

Таким образом,

Заметим, что на основании признака Вейерштрасса (см. § 7 главы 5) этот ряд Фурье сходится (и притом к своей функции) равномерно на всем сегменте .

Поскольку в нашем случае , формула (9.21) имеет силу для всех точек из сегмента и может быть по -периодичности распространена на любые значения (рис. 9).

Из формулы (9.21) вытекает, между прочим, одно любопытное следствие. Положив в ней мы получим

Рис. 9.

Если обозначить через сумму ряда «обратных квадратов» (см. § 2 главы 3), то сумма чисел, обратных четным квадратам, будет равна так что сумма ряда, стоящего в скобках, равна Таким образом,

откуда и мы нашли сумму ряда «обратных квадратов»,