§ 4. Элементарные преобразования прогрессий

Свойства действий над суммами бесконечных прогрессий во многом напоминают свойства действий над обычными суммами конечного числа слагаемых.

Рассмотрим бесконечную прогрессию

и отбросим в ней произвольное конечное число первых членов. Полученная последовательность

очевидно, также будет прогрессией с тем же знаменателем что и исходная прогрессия (1.8). Поэтому на

основании сказанного в предыдущем параграфе прогрессия (1.9) сходится или расходится одновременно с прогрессией (1.8). Согласно формуле (1.7) сумма прогрессии (1.9) равна Эта сумма отличается от суммы исходной прогрессии (1.8) на

т. е. на сумму членов прогрессии (1.8), отброшенных при переходе от нее к прогрессии (1.9).

Таким образом, отбрасывание у прогрессии любого конечного числа членов не сказывается на сходимости прогрессии и изменяет сумму сходящейся прогрессии на сумму отброшенных членов.

Возьмем снова прогрессию (1.8) и умножим каждый ее член на произвольное отличное от нуля число а. В результате мы получим прогрессию а Ее знаменатель — снова тот же, что в прогрессии (1.8), а сумма равна Отсюда следует, что при умножении всех членов прогрессии на одно и то же число, отличное от нуля, сходимость исходной прогрессии не изменяется, а в случае, если прогрессия сходится, ее сумма умножается на это же число.

Возьмем теперь две бесконечные прогрессии с одним и тем же знаменателем

и составим последовательность сумм их соответствующих членов:

Очевидно, при этом мы опять получим прогрессию с тем же знаменателем Она сходится в том и только в том случае, когда сходятся исходные прогрессии, а в случае сходимости ее сумма равна

т. е. получается сложением сумм прогрессий-слагаемых.