§ 8. Вычисление значений функций при помощи ряда Маклорена

Разложения функций в ряды Маклорена позволяют многих случаях вычислять с большой точностью значения этих функций. Вычислим, например, с точностью до пяти знаков

Мы имеем

Значит, близко к единице. Остаточный член имеет вид

где , так что и близко к единице. Поэтому ненаписанные члены в разложении не повлияют на первые пять знаков после запятой и их можно отбросить. Вычисление дает нам

Иногда при вычислении значений функций удобно пользоваться почленным дифференцированием или интегрированием рядов.

Рассмотрим, например, разложение в ряд

Очевидно, стоящий справа ряд сходится равномерно при и поэтому (см. § 9 главы 5) его почленное интегрирование между 0 и законно. Выполнение этого интегрирования дает нам

В частности, при мы имеем

Этот ряд — знакочередующийся. Поэтому его остаток не превосходит последнего отброшенного члена. Удерживая

в нем два первых члена, мы получим значение

с пятью верными знаками.

Разложением (7.20) арктангенса в ряд можно воспользоваться для вычисления значения .

Для начала предостережем читателя от следующего заманчивого рассуждения. Представляется «самым простым» положить в формуле получить сразу

и вычислять непосредственно как сумму этого ряда. Здесь, однако, необходимо принять во внимание два обстоятельства.

Первое носит формальный характер. Стоящий в (7.19) справа ряд сходится лишь при а при он расходится. Значит, почленное интегрирование этого ряда, как это и было оговорено, правомерно не во всем сегменте , а лишь в пределах, лежащих внутри этого сегмента. Поэтому и формула (7.20) обоснована для нас лишь при Правда, в действительности удается доказать возможность перехода в подобных случаях от внутренних точек сегмента к его концам и тем самым обосновать законность подстановки в (7.20). Обосновывающая эту возможность теорема будет приведена в § 3 главы 14. Более того, на самом деле равенство

было уже нами получено ранее элементарным путем (формула Таким образом, равенство (7.21) оказывается верным не просто потому, что имеется формула (7.20) (которая верна лишь при а еще в силу некоторых дополнительных соображений.

Кроме того, имеется и второе обстоятельство, практического сорта. Стоящий в (7.21) ряд сходится весьма медленно: для того чтобы погрешность вычисления (т. е. разница между суммой ряда и его частичной суммой) стала меньше заданного числа необходимо в частичной сумме удержать приблизительно членов. Очевидно, что для более рационального вычисления следует находить значения арктангенсов при достаточно малых значениях

аргумента, а затем получить (или другую рациональную часть ) как некоторую их комбинацию. Можно предложить несколько способов таких вычислений. Один из наиболее простых и эффективных состоит в следующем.

Вспомним сначала, что Поэтому . В частности, при мы имеем

и, далее,

Примем теперь во внимание, что

так что, полагая получим

При мы получаем

Значит,

Но и потому мы имеем

Вычисляем по формуле (7.20) значения стоящих справа арктангенсов, мы можем получить с любой наперед заданной точностью:

Предположим, что нас интересует значение с точностью до . Это значит, что мы можем положить

(следующий член разложения есть и

(следующий член разложения есть Окончательно мы получаем

откуда

Зная значение , можно в свою очередь весьма точно вычислять значения тригонометрических функций от аргументов, заданных в градусной мере.

Например, при вычислении имеем

Ограничиваясь написанными первыми двумя слагаемыми, мы допустим ошибку, которая не будет превосходить первого из отброшенных членов (ибо мы имеем дело со знакочередующимся рядом), т. е.

Вычисление дает нам