§ 4. Признак сходимости Гаусса

Более чувствительным, чем признак сходимости Раабе, и более практичным, чем признак сходимости Бертрана, является признак сходимости Гаусса.

Теорема (признак сходимости Гаусса). Пусть для ряда

отношение соседних членов может быть представлено в виде

где — постоянные, а — ограниченная величина. Тогда ряд (12.14) сходится, если

Этот ряд расходится, если

Доказательство. Прежде всего,

так что при утверждение признака Гаусса превращается в утверждение признака Даламбера.

Далее, при так что при признак Гаусса вытекает из признака Раабе. Наконец, при

Последний же предел ввиду ограниченности величины равен нулю, и расходимость ряда (12.14) следует из признака Бертрана.

Примеры.

1. Возьмем так называемый гипергеометрический ряд

В целях общности исследования мы будем предполагать, что — произвольные вещественные числа, причем числа не являются целыми и неположительными (если хотя бы одно из чисел а или — целое неположительное, то написанный ряд становится суммой конечного числа членов, а при функция вообще не определена).

Для этого ряда, очевидно, и потому

Значит, при признак Даламбера дает нам абсолютную сходимость (и тем самым — просто сходимость) гипергеометрического ряда. Следовательно, по теореме Абеля (§ 2 главы 6) гипергеометрический ряд сходится (и притом абсолютно) при При члены гипергеометрического ряда, начиная с некоторого все оказываются положительными. Поэтому то, что этот ряд не будет сходиться абсолютно, означает, что он должен просто расходиться. Применяя снова теорему Абеля, мы видим, что гипергеометрический ряд расходится и при отрицательных х, для которых Нам остается рассмотреть случаи .

При напишем

Мы имеем

и аналогично

Подставляя это в (12.20) и раскрывая скобки, мы получаем

где величина ограниченная. Заметим, что (12.21) можно понимать также как разложение отношения как функции от по формуле Маклорена.

Согласно (12.21) гипергеометрический ряд при сходится на основании признака Гаусса при и расходится при

Обратимся к случаю Здесь отношение соседних членов

с ростом стремится так что, начиная с некоторого места, гипергеометрический ряд оказывается знакочередующимся. Значит, на основании признака Лейбница необходимым условием его сходимости является

или, что то же самое,

Но

Значит,

Из (12.22) следует, что

или, разлагая написанный логарифм, понимаемый как функция от по формуле Маклорена, получим

где все числа 0 ограничены. Подстановка в (12.24) дает нам

Из расходимости гармонического ряда следует, что при

написанный ряд расходится с неограниченным возрастанием частичных сумм. Следовательно, в этом случае выполняется (12.23) и, кроме

того, Таким образом, соблюдаются все условия признака Лейбница, и гипергеометрический ряд сходится.

Если же то (12.23) не имеет места и гипергеометрический ряд расходится.

Выясним, наконец, вопрос об абсолютной сходимости гипергеометрического ряда при Для этого необходимо, чтобы сходился ряд модулей членов этого ряда. Но, очевидно, начиная с некоторого места, модули членов гипергеометрического ряда с совпадают с членами гипергеометрического ряда с теми же значениями параметров , для которого Значит, при гипергеометрический ряд сходится абсолютно, а при также сходится, но лишь условно.

2. В частности, полагая в выражении (12.18) для гипергеометрического ряда мы получим

т. е. биномиальный ряд (см. § 9 главы 7). Применяя к нему полученные только что для гипергеометрического ряда результаты, мы устанавливаем, что биномиальный ряд сходится при расходится при при он сходится если и расходится, если а при сходится абсолютно, если сходится условно, если , наконец, расходится, если

Условия сходимости (12.16) а признаке Гаусса вместе с условиями расходимости (12.17), очевидно, исчерпывают все логические возможности для значений параметров К и Поэтому признак Гаусса является необходимым и достаточным, т. е. «идеально чувствительным» признаком сходимости. Практичность его также неоспорима. Ввиду сказанного еще в § 5 главы 3 его порок должен поэтому заключаться в недостаточной широте. И в самом деле, возможность представлять отношение соседних членов ряда в виде (12.15) оказывается не столь уж частой.

Примеры.

1. Рассмотрим ряд асходимость этого ряда, установленная в примере 5 § 4 главы 3, нами уже использовались. Для

него мы, очевидно, имеем

или, разлагая как функцию от в ряд Маклорена и удерживая два первых члена,

где — ограниченные числа, причем, как нетрудно проверить, все 0 начиная с некоторого места могут быть ограничены снизу некоторой положительной постоянной. Предположим, что в этих условиях отношение может быть представлено в виде (12.15). Сравнение с правой частью последней формулы дает нам Последнее отношение при возрастании стремится к нулю. Однако в случае ограниченных сверху и ограниченного снизу 0 этого не может быть. Значит, в виде (12.15) отношение соседних членов рассматриваемого ряда непредставимо.

2. Для ряда мы также можем написать

где числа 0, как и в предыдущем примере, ограничены сверху, а начиная с некоторого места — и положительной постоянной снизу. Однако, как следует из того же примера 4 § 4 главы 3, этот ряд сходится.