§ 2. Исследование двух интегралов

Вычислим несобственный интеграл

Не следует поддаваться соблазну получить значение этого интеграла, попросту положив в формуле (11.13) из § 3 главы 11 ибо сама формула (11.13) есть следствие интегральной формулы Фурье, доказательством которой мы сейчас как раз и занимаемся.

Рассмотрим поэтому при различных значениях зависящие от параметра а интегралы

При любом конечном значении такой интеграл, очевидно, является непрерывной функцией а.

Далее, на основании «второй» теоремы о среднем (точнее, на основании формулы при любых

где Таким образом,

Эта оценка справедлива для всех и для всех а. Неограниченное увеличение дает нам

т. е. при всех имеет место сходимость интегралов к соответствующим несобственным интегралам Выполним далее дифференцирование:

Последний интеграл можно вычислить, применяя дважды интегрирование по частям (см. пример в § 2 главы 11). Это дает нам

При неограниченном возрастании последнее выражение сходится к причем эта сходимость, очевидно, равномерна при Следовательно, согласно теореме § 6 главы 5

2) сходимость равномерна по

Из утверждения 1) в результате интегрирования следует, что

а из что функция Л» является непрерывной при .

Если а неограниченно возрастает, то, очевидно, (а тем самым и ) стремится к нулю, и поэтому

откуда

Таким образом,

и по непрерывности

Интересующий нас интеграл вычислен. Мы можем записать полученный нами результат как

Пусть теперь произвольное целое положительное число. Рассмотрим интеграл

Полагая мы можем переписать его в виде

Из (16.10) следует, что при любом

Полагая здесь и вычитая получающееся равенство почленно из (16.11), мы будем иметь

Вычислим теперь при 0 предел

Стоящий под знаком предела интеграл мы можем, очевидно, преобразовать к виду

или, интегрируя отдельно от 0 до некоторого и от до

Воспользовавшись дважды первой теоремой о среднем, перепишем эту сумму в виде

где Переходя по к пределу и пользуясь формулами (16.11) и (16.12), мы получаем

Полученное равенство справедливо при любом Значит, оно остается в силе и при приближении к нулю. Но тогда и стремится к нулю, и мы окончательно получаем

Здесь стоящий справа предел равен, как известно, нице. Поэтому при любом

В § 11 нам понадобится равномерность этой сходимости для из при любом а из Для ее установления обратим внимание на непрерывность (а потому и равномерную непрерывность) функции на сегменте . Это значит, что по любому найдется такое что при из будет

Возьмем теперь произвольное натуральное положим для краткости подберем такие натуральные что будет заключено в

и напишем

Каждый из стоящих справа интегралов с ростом становится малым. Действительно,

(причем, если то первый из интегралов отпадает). Здесь в каждом из двух интегралов функция не изменяет знака, и потому к ним применима (первая) теорема о среднем, т. е. найдутся такие из

Последние два интеграла суть разности некоторых косинусов, деленные на поэтому

где — ограниченная величина.

Аналогично оценивается последний интеграл в (16.15):

где

Наконец, для каждого из остальных интегралов в (16.15) разбиение его на сумму двух интегралов, применение к каждому из них первой теоремы о среднем, выполнение интегрирования и применение формулы (16.14)

дает с некоторыми из из

Собирая все найденные оценки, мы получаем

Здесь правая часть за счет выбора достаточно большого может быть сделана сколь угодно малой вне зависимости от конкретного из . Это, очевидно, равносильно нужной нам равномерной сходимости.