§ 5. Случай сосредоточенной нагрузки

Пусть балка свободно оперта своими концами при и загружена вертикальной силой приложенной вниз к точке (рис. 33).

Рис. 33.

Очевидно, в этом случае реакции опор направлены вверх и равны для левой опоры и — для правой. Элементарный статический расчет показывает, что для изгибающего момента справедливо соотношение

Для коэффициентов разложения в ряд Фурье на по синусам (см. § 4) мы имеем

или, подставляя выражения для значений функции согласно (17.25) отдельно для и для имеем

Интегрирование по частям дает нам при любых

Подставляя такие выражения вместо первого и третьего интеграла в (17.26) (и беря второй интеграл непосредственно), мы получаем

или, после отбрасывания взаимно уничтожающихся членов,

Подстановка в (17.23) дает нам

и окончательно

Производная функция прогиба по длцне балки есть тангенс угла поворота ее поперечного сечения. Ввиду

предположенной жесткости балки этот тангенс мы будем при любой нагрузке балки отождествлять с самим углом поворота:

Поэтому выражение для может быть получено путем почленного дифференцирования ряда из (17.29):

Заметим, что с входят в выражение для прогиба балки в (17.29) симметрично. Отсюда вытекает известное «правило взаимности»: прогиб в точке х от силы, приложенной в точке с, равен прогибу в точке с от силы той же величины, приложенной в точке х. Стоящий в (17.29) ряд сходится весьма быстро, и для практических целей достаточно в нем удерживать малое число членов.

Пример. Найдем при Положив для этого в мы получим

Здесь члены, соответствующие , обращаются в нуль, а член с имеет коэффициентом 1/625. Поэтому, ограничиваясь лишь первым членом ряда и полагая

мы допускаем относительную ошибку, не превосходящую 0,002.

Действительно, точное значение величины прогиба равно

Рассмотрим теперь случай, когда нагрузка на балку состоит из вертикальных сил приложенных соответственно к точкам с абсциссами

В этом случае мы можем искать коэффициент разложения

при помощи метода наложения, т. е. на основе соотношения

которое вытекает из (17.1).

Если теперь положить

и, как и раньше,

то из (17.31) будет следовать

Но разложение каждой из функций нам уже известно. Согласно (17.27)

так что

Поэтому (17.23) дает нам

и мы получаем

При применении метода наложения мы пользовались только линейностью соотношения (17.1) и не пользовались линейностью дифференциального уравнения (17.12) и вытекающего из него равенства (17.15). В действительности, однако, мы могли бы это сделать; тогда формула

(17.32) получилась бы в результате непосредственного суммирования коэффициентов в ряде Фурье в формулах вида (17.29). Поступая так, мы лишь придерживались обычной в математике «экономии предположений», состоящей в том, чтобы не пользоваться тем, без чего можно обойтись.