§ 13. Функции прогиба с ортогональными вторыми производными
Способы закрепления концов балки с опорами в точках 
формально выражаются путем фиксации значений функции ее прогиба 
и ее производных при 
Так, факт «свободной опертости» балки описывается равенствами (17.18) и (17.19).
Пусть функции
удовлетворяют условиям закрепления балки на ее опорах (т. е. могут оказаться функциями прогиба балки при некоторых ее нагрузках), а вторые их производные
ограничены в совокупности и составляют ортогональную систему (см. § 4 главы 8).
Будем в качестве функции, описывающей состояние балки, рассматривать вторую производную функции прогиба, т. е. 
Ввиду предположенной жесткости балки можно считать, что эта вторая производная совпадает с кривизной балки в соответствующей точке.
Предположим, что функция 
прогиба балки, находящейся под воздействием некоторой нагрузки 
такова, что ее вторая производная представима в виде равномерно сходящегося ряда
От вторых производных (17.79) мы можем перейти к «вторым первообразным». Используя при этом произвол в выборе постоянных интегрирования, мы можем обеспечить, чтобы первообразные удовлетворяли условиям закрепления балки. В этом случае по равенству (17.80) мы можем написать
Фиксируем теперь некоторое натуральное 
и приложим к балке, как это описывалось в предыдущем параграфе, дополнительную поперечную изгибающую нагрузку 
приводящую к прогибу 
Напишем согласно (17.79) выражение для производной 
потенциальной энергии изгиба 
по а при 
или, пользуясь разложением для 
Двукратное почленное дифференцирование ряда дает нам
Правомерность почленного дифференцирования ряда обуславливается равномерной сходимостью ряда производных его членов (17.80). После умножения, этих членов на ограниченные 
равномерная сходимость ряда не нарушится, и его можно почленно интегрировать, что состоит в перемене порядка суммирования и интегрирования:
Из ортогональности на 
вторых производных (17.79) мы получаем
Последнее выражение, как было установлено в предыдущем параграфе, равно работе внешней нагрузки на балку на перемещениях, соответствующих прогибу 
С другой стороны, мы можем записать выражение для этой работы непосредственно, как сумму (интеграл) произведений сил на линейные леремещения, или моментов на угловые
перемещения, или и тех и других вместе. Приравнивание этих двух выражений дает нам уравнение, из которого можно определить коэффициент 
В следующих параграфах мы рассмотрим несколько конкретных случаев.
