§ 6. Сдвиг сегмента разложения

То, что мы в качестве основного сегмента задания разлагаемых в тригонометрические ряды Фурье функций брали , является удобным, но совершенно не принципиальным. Если в тех или иных теоретических или прикладных задачах приходится иметь дело с разложением функции в тригонометрический ряд Фурье не в сегменте , а в каком-нибудь другом сегменте то это никаких дополнительных трудностей не создает, а только несколько усложняет обозначения.

В сущности, этот вопрос сводится к тому, как из ортонормальной системы функции на получить ортонормальную систему функций на Очевидно, переход от можно осуществить сдвигом первоначального сегмента вдоль оси и изменением масштабов по этой оси. Следующая лемма и основанные на ней рассуждения показывают, что сдвиги не изменяют ни ортонормальности систем периодических функций, ни соответствующих коэффициентов Фурье периодических функций (разумеется, если их период равен длине интервала разложения).

Лемма. Если функция периодическая с некоторым периодом Т, то при любых а и К

Доказательство. Прежде всего заметим, что, полагая

мы получаем

Далее, мы имеем

а учитывая (9.16), получаем требуемое.

Поскольку функции при любом равно как и постоянная 1, являются периодическими функциями с периодом на основании леммы каждый из интегралов

не изменится от сдвига его интервала интегрирования, т. е. при любом а

Это значит, что система функций

является ортонормальной не только на сегменте и на любом сегменте вида

Далее, если функция является периодической с периодом то периодическими и с тем же периодом

будут все функции

и поэтому для коэффициентов Фурье функции на сегменте мы получаем

Отсюда можно сделать два вывода.

Во-первых, при вычислении коэффициентов Фурье -периодической функции на сегменте мы можем во имя удобства интегрировать нужные произведения не по этому сегменту, а по любому другому вида распорядившись значением а так, чтобы вычисления стали более простыми или более удобными или чтобы, скажем, нам пришлось иметь дело с интегралами, значения которых нам в силу тех или иных обстоятельств уже известны.

Рис. 8.

Во-вторых, при разложении -периодической функции в ряд Фурье на сегменте мы можем воспользоваться всеми теоретическими утверждениями и практическими рекомендациями, которые справедливы для случая сегмента .

Пример. Разложить в ряд Фурье на сегменте функцию, определенную следующим образом:

(график этой функции изображен на рис. 8). Вычисление интегралов, выражающих коэффициенты Фурье для этой функции, неудобно, так как в каждом из них интервал интегрирования приходится разбивать на две части: от — до 0 и от 0 до , Вместе с тем мы можем

продолжить функцию по -периодичности на промежуток графике рис. 7 это видно достаточно наглядно). Таким образом, на отрезке наша функция приобретает уже достаточно простой вид:

(правда, для точки эта формула неверна, но 0 есть точка разрыва функции , так что значение функции в ней на ее разложение в ряд Фурье никак не влияет).

Поэтому коэффициентами Фурье функции будут

а ее разложением в ряд Фурье