§ 9. Сложный изгиб балки

Пусть теперь к балке кроме поперечной нагрузки, которую мы всю обозначим через приложены в ее концах еще и продольные силы (рис. 38).

Рис. 38.

Нагрузку, состоящую из этих двух продольных сил, обозначим через Очевидно, продольная сила при функции прогиба порождает в точке с абсциссой изгибающий момент

Дифференциальное уравнение (17.12)

может быть теперь записано как

Положим, как обычно,

и

Мы имеем

так что подстановки в (17.50) согласно (17.51), (17.52) и (17.53) дают нам

Приравнивая коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях справа и слева, мы получаем

откуда

и потому

Если величина Т отрицательная, т. е. если сила Т растягивающая, то вычитаемое в знаменателе каждого члена ряда (17.54) положительно и каждый член этого ряда оказывается меньше соответствующего члена ряда (17.24). Это полностью соответствует и наглядным представлениям: приложение растягивающих усилий должно уменьшать прогибы от поперечной нагрузки.

Если величина Т положительная, т. е. если сила Т сжимающая, то вычитаемое в знаменателях членов ряда (17.54) отрицательно. Его присутствие уменьшает знаменатели и потому увеличивает члены ряда. Это также

достаточно естественно: приложение сжимающих усилий увеличивает прогибы от поперечной нагрузки.

Однако увеличение сжимающего усилия Т может происходить лишь до тех пор, пока ни один из знаменателей членов ряда не обратится в нуль, т. е. пока будет

Очевидно, если последнее неравенство будет выполняться при то при всех больших значениях оно также останется в силе. Значит, одним из необходимых условий применимости формулы (17.54) является

Сжимающую силу, равную принято называть критической. При приближении сжимающей силы к критической знаменатель в первом члене ряда (17.54) приближается к нулю, а сам первый член ряда неограниченно возрастает, сколь бы малой ни была поперечная нагрузка . В строительной механике это явление называется потерей устойчивости при продольном йзгибэ. Его формальный анализ требует дальнейших рассуждений, которых мы здесь проводить не будем. Мы ограничимся рассмотрением случая, когда соблюдается неравенство (17.55).

Для осмысленности всех проведенных рассуждений необходимо, чтобы было законным двукратное почленное дифференцирование ряда в (17.51), т. е. фактически ряда в (17.54), а также выполнение почленного интегрирования.

Заметим в этой связи, что при фиксированном Т знаменатели в коэффициентах ряда в (17.54) имеют порядок Если числители этих коэффициентов, т. е. числа будут с ростом убывать, как то коэффициенты в целом будут убывать, как , а их вторые производные - как . Тогда ряд для будет мажорироваться рядом обратных квадратов некоторым постоянным множителем, который, как известно, на сходимость ряда не влияет). Тем самым, согласно теореме Вейерштрасса (см. § 7 главы 5), этот ряд сходится, и притом равномерно и абсолютно. Как и в § 4, замечаем, что умножение членов рядов на ограниченные функции не нарушает

равномерной сходимости. Это замечание оправдывает и почленное интегрирование ряда.

В качестве примера рассмотрим случай, когда поперечная нагрузка состоит из единственной сосредоточенной силы Р, приложенной к балке вертикально вниз в точке с абсциссой . В этом случае, как мы видели в § 5 (см. формулу (17.27)), коэффициенты ряда Фурье для убывают, как так что условие двукратной почленной дифференцируемости ряда выполнено.

Фактические выкладки дают нам в результате подстановки в (17.54) значений для из (17.27)

Из формулы (17.54) видно, что функция прогиба в сложном изгибе зависит линейно от коэффициентов а эти последние зависят линейно от поперечной нагрузки. Это значит, что и зависит линейно от поперечной нагрузки, и мы можем в случае сложного изгиба по отношению к поперечной нагрузке также применять метод наложения.

В частности, умножение (17.56) на и интегрирование по с от 0 до I дает нам разложение в ряд Фурье для функции прогиба в случае распределенной нагрузки (с):

а дифференцирование ряда (17.56) по с — разложение в ряд Фурье функции прогиба в случае сосредоточенного

момента М, приложенного в точке

Почленное дифференцирование разложений для описываемых формулами (17.56), (17.57) и (17.58), дает нам разложения угла поворота сечения балки для соответствующих нагрузок.

Заметим, наконец, что по отношению к параметру Т дифференциальное уравнение (17.50) линейным не является: в нем нагрузка умножается на функцию прогиба , в образовании которой она сама и участвует. Поэтому нет оснований ожидать, что отношению к продольной нагрузке окажется применимым метод наложения. Формула (17.54) это подтверждает: члены входящего в нее ряда не пропорциональны величине Т.