§ 10. Неравномерная сходимость последовательностей непрерывных функций

Частичные суммы рядов Фурье являются непрерывными функциями. Поэтому, согласно § 4 главы 5, сходимость ряда Фурье какой-либо функции в точке ее разрыва не может быть равномерной. Для выяснения поведения рядов Фурье в точках разрыва соответствующих функций рассмотрим некоторые общие черты неравномерной сходимости непрерывных функций.

В примере из § 4 главы 5 в условиях неравномерной сходимости последовательности функций были указаны различные значения двойного предела

в зависимости от выбираемой последовательности значений аргумента

Множество всех значений двойного предела (16.42), которые могут быть получены при различных сходящихся к последовательностях аргумента, имеет вполне определенное строение, которое мы сейчас опишем. Точнее говоря, мы будем рассматривать следующую, несколько более широкую задачу. Пусть последовательность функций сходится к предельной функции причем:

Рис. 22.

1) в любой окрестности некоторой точки эта сходимость не является равномерной;

2) точка для которой нарушается равномерная сходимость в смысле условия 1), является изолированной, т. е. существует такая окрестность со точки что для любой точки х из со найдется содержащая ее окрестность, в которой последовательность функций сходится равномерно.

Пусть, далее, на плоскости изображены графики всех функций Пределом графиков назовем такое множество точек на плоскости, что, какова бы ни была точка этого множества, ее абсцисса принадлежит со и для любой ее окрестности К (например, для круга малого радиуса с центром в графики всех функций с достаточно большими номерами проходят через

Опишем вид множества

Теорема состоит из проходящего через со участка графика функции и некоторого вертикального отрезка, проходящего через точки и содержащего отрезок, соединяющий эти точки (рис. 22).

Доказательство. Заметим прежде всего, что если точка х из со отлична от то в имеется единственная точка с абсциссой точка Действительно, пусть другая такая точка. В некоторой ее окрестности последовательность сходится к равномерно, и потому, согласно теореме 1 § 4 главы 5, функция в точке х непрерывна. Следовательно, во-первых,

найдется такая окрестность со точки что для всякой точки х из со будет

а во-вторых, найдется такая окрестность точки х, что для всех х из начиная с некоторого номера будет

Значит, для всех х принадлежащих одновременно со, о и будет

и потому

Таким образом, точки графиков начиная с некоторого не могут проходить достаточно близко к точке которая тем самым не принадлежит

Рис. 23.

Обратимся к рассмотрению множества точек из имеющих вид Покажем, что это множество составляет промежуток: если принадлежат то также принадлежит . В самом деле, возьмем попарно непересекающиеся круги с произвольным достаточно малым радиусом и соответственно центрами в точках (Рис. 23). По условию, начиная с некоторого Н, все графики проходят через К, а, начиная с некоторого — через Пусть — большее из чисел Тогда при пп график функции должен содержать некоторую точку из круга К и некоторую точку из круга (пусть для определенности Здесь мы имеем: Ввиду непрерывности функции она на сегменте

должна принимать любое промежуточное значение между и в том числе — значение у. Пусть где Во всяком случае, точка должна находиться на горизонтальном диаметре круга К-Таким образом, через круг К проходят все графики функций, начиная с Значит, точка принадлежит

Возьмем теперь произвольно из и обозначим через множество тех точек из абсциссы которых лежат в сегменте Покажем, что множество замкнутое, т. е. если имеется сходящаяся к пределу последовательность точек принадлежащих то также принадлежит Это доказывается весьма стандартным образом.

Возьмем точку и опишем вокруг нее произвольный малый круг К. Он содержит точки вида при достаточно большом Возьмем одну такую точку и опишем около нее произвольный малый "круг содержащийся в круге Поскольку по условию точка принадлежит через круг и тем самым через круг К проходят все графики функций с достаточно большими номерами. Следовательно, точка принадлежит

Отсюда, во-первых, следует, что промежуток должен содержать свои концы, т. е. являться сегментом, а во-вторых, что он содержит точки

и

а следовательно, по доказанному выше — и соединяющий их отрезок.

Теорема доказана.

Обозначим через максимальное значение ординаты для точек из а через — минимальное значение. Эти числа можно находить, пользуясь следующей теоремой.

Теорема 2. Пусть — некоторая окрестность точки функция достигает на своего наибольшего

значения в точке Тогда

Аналогично, если достигает на своего наименьшего значения в точке то

Разумеется, каждая из формул (16.43) и (16.44) имеет место, если существуют стоящие в них справа пределы.

Доказательство. Точки будучи пределами соответственно для последовательностей точек вида очевидно, принадлежат

Всякая же вообще точка из 5 имеет вид предела некоторой последовательности точек Но в наших обозначениях для из

или, переходя к пределу,

у принадлежит сегменту

Примеры.

1. Для последовательности

которая вблизи точки сходится неравномерно (см. § 4 главы 5), в качестве окрестности со можно взять всю вещественную прямую. Мы имеем

при причем Так как и при больших по модулю значениях х значения функции также близки к нулю, точка действительно оказывается максимумом, а точка - минимумом функции

Таким образом, ясно, что

Графики функций а также множество для этого случая изображены на рис. 24.

2. Для последовательности

которая также сходится неравномерно лишь вблизи можно считать, что со есть вещественная прямая. Здесь

при Поскольку точка — является максимумом функции а точка — ее минимумом.

Рис. 24.

Мы имеем Таким образом, последовательность неограниченно возрастает, а последовательность неограниченно убывает. 50 в этом случае есть вся ось ординат.