§ 7. Существенность условий признака сходимости Лейбница
Обратим внимание на то, что в признаке сходимости Лейбница указываются три условия, которым должен удовлетворять ряд: знакочередуемость членов ряда, а также монотонность и сходимость к нулю их абсолютных величин. Убедимся в том, что каждое из этих трех условий является существенным.
Во-первых, в признаке сходимости Лейбница нельзя отбросить условие знакочередуемости. Можно построить примеры рядов, у которых последовательность абсолютных величин членов монотонно стремится к нулю, но которые расходятся из-за того, что знаки членов ряда не чередуются, а распределены более сложно.
Пример. В ряде
абсолютные величины членов не возрастают и стремятся к нулю. Однако все частичные суммы вида
а остальные частичные суммы принимают промежуточные значения. Очевидно, такая последовательность частичных сумм предела не имеет, и потому ряд (4.36) расходится.
Во-вторых, для сходимости знакочередующегося ряда важно условие (4.33). Существуют расходящиеся ряды, для которых выполняются все условия теоремы Лейбница, кроме (4.33).
Пример. Ряд
знакочередующийся, и для него выполняется условие (4.34), но не условие (4.33). Этот ряд расходится. В самом деле, если бы он сходился, то сходился бы по ассоциативному закону (см. теорему 1 § 8 главы 2) и ряд
т. е.
Но в скобках здесь стоит гармонический ряд, который, как известно, расходится.
Наконец, в-третьих, существенность условия (4.34) вытекает из общего необходимого признака сходимости рядов (см. § 6 главы 2).
На основании сказанного применение признака Лейбница к исследуемому на сходимость ряду должно состоять в проверке соблюдения для этого ряда всех трех условий признака.
