ГЛАВА 11. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

§ 1. Представление функций интегралом Фурье

Представление функции в сегменте рядом Фурье

можно истолковать следующим образом. Если функция в сегменте является «достаточно хорошей» (именно, если она в этом промежутке удовлетворяет условиям Дирихле), то для того, чтобы ее в этом сегменте полностью описать, достаточно указать некоторый, вполне определенный набор ее характеристик, коэффициентов Фурье:

(Мы сейчас намеренно допускаем некоторую грубость в изложении и не касаемся того факта, что описание функции ее рядом Фурье в точках разрыва может и не оказаться исчерпывающим.)

Таким образом, коэффициенты Фурье несут в себе достаточно информации о поведении функции в соответствующем конечном сегменте, сколь бы велик он ни был.

Частоты гармоник ряда Фурье (11.1) функции на сегменте длины 21 составляют последовательность

которая является арифметической прогрессией с разностью

Заметим, что при увеличении числа т. е. при увеличении длины сегмента разложения функции, разности между частотами соседних гармоник уменьшаются, т. е. гармоники начинают идти все более густо.

Положение дел резко изменяется, если сегмент разложения функции, неограниченно расширяясь в обе стороны, охватывает всю вещественную прямую и превращается в бесконечный промежуток В этом случае естественно ожидать, что разность между частотами соседних гармоник будет убывать до нуля, т. е. что последовательность гармоник из дискретной, состоящей из отдельных изолированных чисел, превратится в непрерывное множество всех вещественных неотрицательных чисел. Естественно предположить при этом, что вместо ряда Фурье нам придется рассматривать некоторый интеграл. Этот интеграл, к рассмотрению которого мы сейчас перейдем, называется интегралом Фурье.

Очевидно, для представимости функции интегралом Фурье в бесконечном промежутке эта функция должна удовлетворять некоторым условиям, подобным условиям Дирихле, а кроме того, и еще некоторым дополнительным условиям, необходимым для избежания возможных неприятностей, возникающих в связи с тем, что при неограниченном возрастании I все интегралы вида (11.2) оказываются уже несобственными и об их сходимости требуется позаботиться специально.