§ 3. Критерии сходимости двойных рядов. Теорема Маркова
Для выяснения вопросов, связанных со сходимостью двбйных рядов, воспользуемся некоторыми аналогиями с фактами о сходимости обычных рядов.
Очевидно, что если члены двойного ряда 
с ростом значений индексов 
и 
убывают достаточно быстро, то деойной ряд должен сходиться. В качестве характеристики убывания членов двойного ряда можно взять, например, сходимость его строк (или столбцов) и убывание сумм строк (столбцов) с ростом их индексов.
Теорема. Пусть в сходящемся двойном ряде
с суммой 
сходятся все строки, а также пусть сходится ряд, составленный из их сумм, т. е. пусть существуют пределы в равенствах
и
Тогда 
Аналогично, гели существуют пределы
и
то 
Доказательство. Возьмем произвольное 
и найдем такие 
что при 
Но при каждом конкретном 
и стоящий здесь слева предел существует.
Так как неравенство (13.16) справедливо при любом достаточно большом 
мы можем, неограниченно увеличивая 
получить
Таким образом, по каждому 
находится такое 
что при 
имеет место (13.17). Но это и значит, что
и первая часть теоремы доказана. Вторая ее часть доказывается аналогично.
Нам будет полезен следующий критерий равенства сумм двойного ряда по строкам и по столбцам:
Теорема Маркова. Пусть нам дан двойной ряд
в котором сходятся все строки
все столбцы
и ряд, составленный из сумм строк
Тогда:
1) 
остатки строк, составленные для каждого 
образуют сходящийся ряд 
с некоторой суммой 
2) Для того чтобы сходился ряд, составленный из сумм столбцов
необходимо и достаточно существование предела
3) Для равенства 
необходимо и достаточно, чтобы было 
Доказательство. 1) Для любых 
и 
мы имеем
и суммирование по всем 
дает нам
Так как все стоящие справа ряды сходятся, сходится и ряд, стоящий слева, причем
2) Положив в 
мы получим
и почленное вычитание (13.21) дает нам
При неограниченном возрастании 
мы имеем
и существование предела слева равносильно существованию предела справа.
3) Очевидно, что следовательно,
Если
то (13.22) превращается в
Формулы (13.23) и (13.24) дают нам требуемое.
