ГЛАВА 9. РЯДЫ ФУРЬЕ

§ 1. Ряды и коэффициенты Фурье

В § 1 главы 8 мы выяснили, что если нам даны три вектора

составляющих ортонормальную систему, т. е. векторы, для которых

то любой вектор х можно представить в виде

где коэффициентами являются соответственно скалярные произведения

Пусть нам дана ортонормальная на сегменте [а, Ь] последовательность функций

и некоторая непрерывная функция Займемся задачей о разложении функции в ряд по функциям (9.1), т. е. о представлении функции в виде

Следуя проводимой нами аналогии между векторами и функциями, найдем числа

и составим ряд

Определение. Ряд (9.3) называется рядом Фурье функции по системе функций (9.1). Коэффициенты этого

ряда называются коэффициентами Фурье функции по системе (9.1).

Сравнительно простой и удобной системой функций для разложений в ряд Фурье по ней на сегменте является описанная в главе 8 нормированная система тригонометрических функций

Разложение функции в ряд Фурье по этой системе на сегменте имеет вид

где коэффициенты Фурье определяются по формулам

Ряд (9.4) называется тригонометрическим рядом Фурье, чтобы отличать его от рядов Фурье, получающихся при разложениях по другим системам функций. Однако тригонометрические ряды Фурье употребляются в теории и практике по сравнению с остальными рядами Фурье столь часто, что обычно их называют «просто» рядами Фурье. Ряды же Фурье по другим системам функций называются часто «обобщенными» рядами Фурье.

Частичные суммы рядов Фурье для тех или иных функций часто называют суммами Фурье этих функций.

Заметим, что при

Поэтому формулу (9.5) можно рассматривать как частный случай формулы (9.6), который получается при Здесь необходимо, однако, еще раз подчеркнуть особое положение параметра входящего в разложение (9.4) лишь своей половиной.

Отметим еще следующее терминологическое обстоятельство. Характеризация некоторого ряда как тригонометрического означает, что этот ряд имеет вполне определенный внешний вид: его членами являются тригонометрические функции вида снабженные теми или иными коэффициентами. Характеризация же ряда как ряда Фурье указывает на вполне определенное происхождение его коэффициентов по формулам типа (9.2) (в тригонометрическом случае эти формулы заменяются на конкретные формулы

Если функция непрерывна (или хотя бы кусочно непрерывна) на сегменте , я], то все интегралы вида (9.2) имеют смысл, и таким образом можно говорить о ряде Фурье этой функции и о его сходимости. По аналогии с векторами можно было бы ожидать, что сумма ряда Фурье функции должна существовать и быть равной самой функции . Обычно так оно и есть, хотя, конечно, может оказаться, что ряд Фурье некоторой функции не сходится вовсе или же сходится, но не к функции а к какой-нибудь совсем другой функции. С подобным явлением мы уже встречались при разложениях функций в степенные ряды.

В связи со сказанным перед нами встает задача: выяснить, в каких случаях и каким образом ряд Фурье некоторой функции позволяет описывать значения этой функции; в частности, в каких случаях ряд Фурье функции сходится к этой функции. Оказывается, что для довольно широкого класса функций это действительно так.

Не вдаваясь в детальное исследование вопроса (дальнейшие сведения об этом будут изложены в главе 16), мы приведем систему достаточных условий для того, чтобы функция была разложима в тригонометрический ряд Фурье в сегменте . Переход от этого сегмента к произвольному другому сегменту не является принципиальным, и мы увидим, что это можно проделать уже легко