§ 9. О равномерной сходимости рядов Фурье

Примененным в предыдущем параграфе для вычислительных целей методом выделения особенностей функций можно воспользоваться и для доказательств теоретических утверждений. В качестве первого примера приведем распространение теоремы 1 § 14 главы 9 о равномерной сходимости сумм Фурье к соответствующей функции, если последняя имеет изломы (разрывы первой производной).

Теорема. Пусть заданная на сегменте непрерывная функция разлагается в ряд Фурье и имеет кусочно непрерывную первую производную (т. е. конечное число точек излома) и абсолютно интегрируемую вторую производную.

Тогда суммы Фурье функции сходятся на всем сегменте к равномерно.

Доказательство. Пусть — все точки излома т. е. все те точки, в которых

(в том числе, возможно, и точки или , если

Возьмем заданную на сегменте и распространенную вне этого сегмента по -периодичности функцию разложение которой в ряд Фурье на было нами получено в § 9 главы 9 (см. формулу (9.21)). Сдвинем, согласно § 6 главы 9, сегмент разложения этой функции вправо на и умножим полученную функцию на

есть величина в точке скачка производной продолженной с сегмента по -периодичности функции .

Легко видеть, что получаемая функция имеет излом в точке с тем же углом излома, что и функция в этой точке. Поэтому непрерывная функция

не имеет изломов вовсе. Она, очевидно, разлагается в ряд Фурье, и ее вторая производная на абсолютно интегрируема. Следовательно, по теореме 1 § 14 главы 9 суммы Фурье этой функции сходятся к ней равномерно. Кроме того, как было замечено в конце § 11 главы 9, суммы Фурье каждой из функций сходятся к своим функциям также равномерно. Поэтому в силу теоремы из § 3 главы 5 равномерно должны сходиться и суммы Фурье суммы функций

т. е. функции