§ 3. Возможность переставлять члены в абсолютно сходящихся рядах

Теорема. Если в абсолютно сходящемся ряде произвольным образом переставить члены, то полученный ряд также будет абсолютно сходиться, а сумма его будет равна сумме исходного ряда.

Доказательство. Пусть

— абсолютно сходящийся ряд с суммой а

— ряд, полученный из (4.16) произвольной перестановкой его членов. Абсолютная сходимость (4.16) означает сходимость ряда

Обозначим сумму этого ряда через Но по теореме Дирихле (см. теорему 3 § 8 главы 2) ни сходимость ряда (4.18), ни его сумма не изменяются от перестановки членов ряда. В частности, должен сходиться и иметь сумму ряд

Тем самым ряд (4.17) сходится абсолютно и поэтому сходится. Обозначим его сумму через

Составим теперь ряд

По теореме о сложении рядов (теорема 4 § 8 главы 2) этот ряд сходится и сумма его равна

Заметим теперь, что

т. е. что члены ряда (4.20) неотрицательны. Переставим члены этого ряда так же, как переставлялись члены ряда (4.16). Мы получим ряд

Ввиду неотрицательности членов ряда (4.20), к нему также применима теорема Дирихле, согласно которой ряд (4.21) сходится, и его сумма равна С другой стороны, ряд (4.21) является суммой сходящихся рядов (4.19)

и (4.17). Поэтому по теореме о сложении рядов его сумма равна Таким образом, откуда следует, что

Если ряд (4.16) имеет комплексные члены, то доказательство достаточно слегка модифицировать.