§ 12. Комплексная форма записи ряда Фурье

Формулы Эйлера позволяют выражать тригонометрические функции через показательные функции с комплексным показателем. Следовательно, в такой комплексной форме могут быть представлены тригонометрические ряды и, в частности, ряды Фурье тех или иных функций. Пусть

— некоторый тригонометрический ряд.

Мы имеем формулы Эйлера (см. § 5 главы 7)

Тогда

т. е., объединяя степени с одинаковыми показателями,

Введем единообразные обозначения:

Тогда (9.25) превращается в

или

Таким образом, мы получили разложение функции в функциональный ряд с комплексными членами. Он называется рядом Фурье в комплексной форме. Коэффициенты этого ряда можно вычислять не только по формулам (9.26) из коэффициентов ряда Фурье (9.24), но и непосредственно, минуя нахождение

В самом деле, вспоминая определения коэффициентов мы имеем

и аналогично

Следовательно, при любом целом

Если функция вещественная (а до сих пор мы только такие функции и рассматривали), то из формул (9.25) следует, что коэффициенты разложения в комплексный ряд Фурье являются комплексными сопряженными числами. Для модулей этих чисел мы имеем

Вспоминая интерпретацию разложения функции в тригонометрический ряд Фурье как представление движения в виде суммы (суперпозиции) гармонических колебаний (см. § 4), мы видим, что модули коэффициентов комплексного ряда Фурье являются амплитудами соответствующих гармоник.