§ 12. Комплексная форма записи ряда Фурье
Формулы Эйлера позволяют выражать тригонометрические функции через показательные функции с комплексным показателем. Следовательно, в такой комплексной форме могут быть представлены тригонометрические ряды и, в частности, ряды Фурье тех или иных функций. Пусть
— некоторый тригонометрический ряд.
Мы имеем формулы Эйлера (см. § 5 главы 7)
Тогда 
т. е., объединяя степени с одинаковыми показателями,
Введем единообразные обозначения:
Тогда (9.25) превращается в
или
Таким образом, мы получили разложение функции 
в функциональный ряд с комплексными членами. Он называется рядом Фурье в комплексной форме. Коэффициенты этого ряда можно вычислять не только по формулам (9.26) из коэффициентов ряда Фурье (9.24), но и непосредственно, минуя нахождение 
В самом деле, вспоминая определения коэффициентов 
мы имеем
и аналогично
Следовательно, при любом целом 
Если функция 
вещественная (а до сих пор мы только такие функции и рассматривали), то из формул (9.25) следует, что коэффициенты 
разложения в комплексный ряд Фурье являются комплексными сопряженными числами. Для модулей этих чисел мы имеем
Вспоминая интерпретацию разложения функции в тригонометрический ряд Фурье как представление движения в виде суммы (суперпозиции) гармонических колебаний (см. § 4), мы видим, что модули коэффициентов комплексного ряда Фурье являются амплитудами соответствующих гармоник.
