§ 3. Метод разделения переменных

Рассмотрим метод решения уравнения колебаний струны методом разделения переменных, который также называется методом Фурье (хотя для случая колебаний струны был предложен еще Даниилом Бернулли). Существенным для этого метода является использование рядов Фурье.

Пусть мы имеем дело с уравнением колебания струны

причем концы струны закреплены неподвижно,

а начальными условиями являются

Само по себе уравнение (10.8), взятое отдельно от условий (10.9)-(10.11), может иметь очень много весьма разнообразных решений. Среди них имеется и тождественно равное нулю:

Нас же интересует решение, которое удовлетворяет не только уравнению (10.8), но также граничным и начальным условиям (10.9)-(10.11). Очевидно, тождественно равное нулю решение может быть для уравнения (10.8) лишь в том случае, когда в начальный момент времени струна находится в состоянии равновесия: при этом неподвижна: Во всех остальных случаях решение уравнения (10.8) тождественно равняться нулю не может.

Будем искать решение уравнения (10.8), отличное от тождественного нуля и удовлетворяющее граничным условиям (10.9), в виде произведения функции X, зависящей только от х, и функции Т, зависящей только от Иными словами, пусть

Подстановка в уравнение (10.8) дает нам

или

Функция, стоящая в левой части этого равенства, не зависит от х, а функция, стоящая в правой части, от Следовательно, в действительности обе эти функции не зависят ни от , ни от т. е. являются некоторой постоянной. Предположим, что эта постоянная отрицательна (смысл этого предположения выяснится далее), и обозначим ее через :

Таким образом, мы имеем

откуда, решая эти дифференциальные уравнения, получаем

где — некоторые постоянные, для определения которых мы воспользуемся граничными и начальными условиями.