§ 15. Работа продольных сил при сложном изгибе балки
Рассмотрим теперь имеющую две опоры балку, которая, помимо изгиба поперечной нагрузкой, подвергается еще растяжению или сжатию продольными силами.
Нагрузку на балку, состоящую из поперечных и продольных усилий, обозначим через 
Выше мы не делали различия между расстоянием, отсчитываемым от левой опоры балки по направлению к правой по прямой линии, и расстоянием, отсчитываемым вдоль искривленной линии прогиба балки, характеризуя оба одной и той же координатой х. Теперь нам придется различать эти два вида расстояний. Поскольку основные соотношения, описывающие потенциальную энергию изгиба балки, касались точек самой балки, а не точек объемлющего ее пространства, мы сохраним х для обозначения расстояния вдоль балки. Расстояние же по прямой линии мы будем характеризовать координатой 
.
Как было условлено в «определении» балки (см. начало § 2), мы не будем учитывать изменения длины балки от приложенных к ней продольных усилий, считая его пренебрежимо малым. Это значит, что х-координаты концов балки (и тем самым — ее опор) будут равны 0 и 
независимо от ее деформаций, вызываемых нагрузками.
Напротив, изменение расстояния между концами балки, измеренного по прямой, нам учитывать придется. 
-коор-динату левой опоры мы при любых вариантах нагрузки будем считать равной нулю, а 
-координату правой опоры в условиях нагрузки 
зависящую от 
будем обозначать через 
Очевидно, 
потому что после загрузки балки она искривляется и расстояние между ее опорами уменьшается.
Рис. 40.
Разность 
можно подсчитать следующим образом.
Пусть 
— функция прогиба балки от воздействия нагрузки 
Из рассмотрения элемента дуги искривленной балки (рис. 40) видно, что 
откуда
В результате интегрирования мы находим расстояние между опорами балки:
Считая что все значения достаточно малы (что вытекает из предположения о жесткости балки), мы можем (17.85) переписать как
откуда
Вернемся теперь к схеме рассуждений из § 12 и § 14. В качестве «основной» нагрузки (как и в § 12, мы ее обозначили через 
мы выберем действующие на балку продольные силы 
(см. рис. 38). Представим функцию
прогиба 
от нагрузки 
на сегменте 
в виде разложения по системе функций
имеющих попарно ортогональные на 
вторые производные:
В качестве «дополнительной» нагрузки (в обозначениях § 12 это нагрузка 
) возьмем поперечную нагрузку, порождающую прогиб 
.
Подсчитаем теперь в соответствии со сказанным в конце § 12 работу основной нагрузки на перемещениях, обусловленных дополнительной нагрузкой. Очевидно, это будет работа силы Т на перемещении, равном изменению расстояния между опорами, вызванному добавлением к основной нагрузке дополнительной нагрузки.
Эта работа равна
или, учитывая формулу (17.86) вместе с ее вариантом, получающимся при замене 
на 
получим
Производная этой работы по а при 
равна
