§ 2. Линейные преобразования рядов
В примере из § 8 главы 2 (стр. 41) описывается способ нахождения суммы ряда
путем представления каждого его члена в виде разности
Этот прием может быть применен и в других случаях. Примеры.
Следующая теорема может рассматриваться как обобщение этого приема:
Теорема 1. Пусть для ряда
найдется такая сходящаяся последовательность 
с пределом Т, что для некоторого целого положительного 
и для всех 
выполняется 
Тогда
Доказательство. Обозначая через 
частичную сумму ряда (14.3), для любого 
мы имеем
При неограниченном возрастании 
каждая из переменных 
по условию стремится к Г, и мы получаем (14.4).
Примеры.
1. Возьмем произвольное целое положительное 
Тогда для любого а, не являющегося целым неположительным числом,
Положим 
Очевидно, что 
и применение доказанной теоремы дает
В частности, полагая а 
мы после почленного умножения ряда на 
получаем
2. Для ряда
мы можем принять
(очевидно, здесь при увеличении 
переменная 
стремится к нулю) и 
и получить
Если 
то после умножения ряда на 
мы получаем
Дальнейшее обобщение доказанной теоремы состоит в следующем:
Теорема 2. Пусть для ряда
найдутся татя сходящаяся последовательность 
с пределом Т и такие вещественные числа 
что
и при всяком 
Тогда ряд (14.5) сходится и
Доказательство. Выразим все члены данного ряда (14.5) в виде (14.6) и так выпишем эти выражения одно под другим, чтобы слагаемые, содержащие 
с одинаковыми индексами, располагались по одной вертикали: для экономии места мы выполним эту запись в форме таблицы 1 (числа, стоящие в заголовках столбцов, умножаются на все числа, стоящие в соответствующем столбце, и все такие произведения суммируются).
Суммы чисел в каждом из столбцов, лежащих между сплошными вертикальными линиями, равны нулю, а с возрастанием 
все числа 
стремятся
Таблица 1 (см. скан)
к общему пределу Т. Отсюда и следует (14.7). Особенно удобно пользоваться этой теоремой, когда 
Примеры.
1. Для ряда 
мы имеем
Поэтому его сумма равна
2. Для ряда
будет
так что сумма этого ряда оказывается равной 
3. Сумма ряда
равна 
