§ 7. Скорость сходимости рядов Фурье
Рассуждения теоремы предыдущего параграфа можно повторять, применяя их к первой и второй, второй и третьей и т. д. производным функции 
предполагая, однако, что как сама функция, так и все ее участвующие в рассуждениях производные удовлетворяют условиям Дирихле.
Итак, пусть
— точки разрыва 
производной функции 
(считая саму функцию за ее нулевую производную), плюс, если нужно, точки 
соответственно со скачками 
и
На основании только что доказанной теоремы мы имеем по аналогии с (16.32) и (16.33).
или, полагая
и исключая из системы равенств вида (16.35) и (16.36) все и 
с промежуточными верхними индексами, мы получаем
где буквы 
и 
а также знаки при них чередуются в (16.39) как при последовательном дифференцировании «минус-синуса», а в (16.40) - как при последовательном дифференцировании косинуса.
Равным образом принимают свои значения и знаки 
— как 
производная косинуса, начиная с 
— как 
производная синуса, начиная с 
Из формул (16.39) и (16.40) видно, что наибольшее влияние на приближение к нулю коэффициентов Фурье имеют разрывы самой разлагаемой функции, а затем — последовательно — разрывы ее прризводных.
Говоря более точно, имеет место следующая теорема: Теорема. Если функция 
является 
-периодической (в смысле 
и имеет непрерывные и удовлетворяющие условиям Дирихле производные до 
включительно, а 
ее производная удовлетворяет условиям Дирихле, то для ее коэффициентов Фурье 
справедливы неравенства
где М — положительная константа.
Доказательство. В силу непрерывности функции 
и ее первых 
производных должно быть
Вместе с тем числа и 
из (16.39) и (16.40) суть коэффициенты Фурье производной 
взятые с надлежащими знаками. Так как эта производная удовлетворяет условиям Дирихле, мы на основании теоремы 2 § 1 имеем
Подстановка этого в (16.39) и (16.40) дает нам требуемое.
В частности, если положить 
т. е. принять, что функция 
непрерывна, а ее производная удовлетворяет условиям Дирихле, то сходимость ряда Фурье к 
является равномерно непрерывной и абсолютной.
Действительно, в сформулированных условиях для коэффициентов разложения функции 
в ряд Фурье имеет место
так что требуемое выводится непосредственно из цепочки неравенств:
и нам остается сослаться на признак равномерной сходимости Вейерштрасса (§ 7 главы 5).
