§ 10. Ряды Тейлора и Маклорена

Если функция имеет в некотором сегменте производные всех порядков (раз они имеются все, каждая из них будет дифференцируемой и поэтому непрерывной), то можно написать формулу Тейлора для любого значения

Положим при любом

и

Если

то ряд

сходится, и его суммой будет функция

Определение. Представление функции в виде ряда

называется разложением этой функции в ряд Тейлора.

В частности, при разложение в ряд Тейлора называется разложением в ряд Маклорена:

Подчеркнем, что остаточный член в формуле Тейлора (6.17) для функции не обязательно является остатком ряда Тейлора (6.24) этой функции. Поэтому из сходимости ряда Тейлора для функции еще не следует его сходимость именно к этой функции. Следовательно, при разложении функции в ряд Тейлора следует проверять соблюдение условия (6.23).

Пример. Приведем пример функций, ряды. Тейлора которых сходятся, но не к самим функциям.

Возьмем произвольную функцию вида

где Р — некоторый полином. Ясно, что при и таком, что не есть корень Р, должно быть и , так что функция во всяком случае тождественно нулю не равна.

При функция как видно из ее аналитического задания (6.25), непрерывна. Для проверки ее непрерывности при положим Тогда мы получим

так что, применяя нужное число раз правило Лопиталя, мы будем иметь

Значит, функций непрерывна и при

Найдем теперь производную функции . При мы можем ее получить дифференцированием соответствующего аналитического выражения:

где

т. е. снова некоторый полином (от ).

Для вычисления значения производной при воспользуемся формулой Лагранжа:

(Применение формулы Лагранжа здесь законно, так как согласно доказанному функция является непрерывной, а при и дифференцируемой.) Переходя в этом равенстве к пределу при стремлении х к нулю справа или слева, мы, как и при выводе (6.26), получаем (параметр ограничен и нарушить сходимость аргумента к нулю не может)

Объединяя (6.27) и (6.28), мы получаем

Отсюда мы видим, что производная всякой функции вида (6.25) существует и сама имеет вид (6.25). Ее можно поэтому продифференцировать еще раз и снова получить функцию вида (6.25) и т. д. Таким образом, всякая функция вида (6.25) имеет производные сколь угодно высоких порядков и все они также имеют вид (6.25).

В частности, Поэтому в формуле Тейлора (6.22) для этой функции при мы имеем

при любом Отсюда следует, что

так что вовсе не стремится к нулю с ростом Таким образом, в нашем примере ряды вида (6.24) сходятся, и суммы их тождественно равны нулю, отличаясь тем самым от функций

Из приведенного только что примера видно, что не всякая функция, даже если ее можно неограниченное число раз дифференцировать, разложима в ряд Тейлора. Однако если разложение функции в какой-либо

степенной ряд вообще возможно, то оно является разложением именно в ряд Тейлора.

Теорема. Пусть

где стоящий справа ряд сходится в некотором сегменте а к функции Тогда этот ряд является рядом Тейлора, т. е.

Доказательство. Применяя к равенству раз теорему о почленном дифференцировании степенного ряда (§ 6), мы имеем

Если в этом тождестве положить то все слагаемые справа, кроме первого, обратятся в нуль и мы получим

откуда и следует (6.30).

Из доказанной теоремы вытекает, что функция, рассмотренная в последнем примере, не может быть представлена в окрестности точки не только суммой своего ряда Тейлора, но и суммой какого-либо другого степенного ряда.

Как другое следствие доказанного мы получаем, что если имеются два разложения одной и той же функции в одной и той же области в ряд

и в ряд

то оба эти ряда являются одним и тем же рядом Тейлора и поэтому совпадают, т. е.

Удобный для практических приложений признак разложимости функции в ряд Тейлора описывается следующей теоремой.

Теорема. Если функция имеет производные сколь угодно высоких порядков и существует такая постоянная С, что при любых

то функция разлагается в ряд Тейлора:

при любом а.

Доказательство. По условию для остаточного члена для функции в формуле Тейлора мы имеем

так что

и требуемое установлено.