§ 5. Разложение функции f(x) = x

Рассмотрим в качестве примера разложение в тригонометрический ряд Фурье функции

заданной пока что на сегменте . Так как эта функция внутри сегмента непрерывна и монотонна, она удовлетворяет очевидным образом условиям Дирихле. Заметим, что говорить о непрерывности нашей функции на концах рассматриваемого сегмента, т. е. в точках , мы пока не имеем права, так как для непрерывности функции в этих точках мы должны знать ее предельное поведение при подходе к сегменту извне. Но о значениях функции вне сегмента мы пока ничего не знаем.

Составим тригонометрический ряд Фурье для нашей конкретной функции . В соответствии с формулами для этого нам нужно вычислить следующие интегралы:

Таким образом, тригонометрическим рядом Фурье функции на сегменте будет ряд

Сумма этого ряда является функцией от х. Обозначим ее через

Эта функция во всех точках непрерывности должна с ней совпадать. Значит, внутри сегмента должно быть (см. формулу (1.30) на стр. 27)

Далее, при все синусы обращаются в нуль:

Следовательно,

Наконец, как было отмечено, функция должна быть периодической и иметь период Поэтому аналитически эту функцию можно задать как

а график ее указан на рис. 7.

Рис. 7.

Если мы продолжим функцию с сегмента на всю вещественную прямую, согласно ее аналитическому виду то мы вне сегмента получим нечто совершенно отличное от функции

Однако продолжение с сегмента периодической функцией с периодом если положить

будет совпадать с функцией