§ 4. Предел последовательности непрерывных функций

Теорема 1. Если последовательность непрерывных на сегменте функций

сходится на сегменте к предельной функции равномерно, то предельная функция также непрерывна на этом сегменте.

Доказательство. Непрерывность функции в точке (которую нам предстоит доказывать) состоит в том, что по любому можно найти такое что из следует

(если, разумеется, число расположено в сегменте ).

Мы имеем для любых

На основании равномерной сходимости можно взять столь большое чтобы для любого х из сегмента выполнялось . В частности, будет и

Итак, пусть нужное выбрано. По условию функция является непрерывной. Следовательно, найдется такое что при любом

Сопоставляя (5.19), (5.20), (5.21) и (5.22), мы видим, что

Теорема доказана.

В случае равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций можно переходить одновременно к пределу по аргументу и по номеру функции.

Теорема 2. Пусть последовательность непрерывных функций в некоторой области, содержащей точку сходится равномерно к предельной функции Тогда

Доказательство. По предыдущему предельная функция должна быть непрерывной. Возьмем произвольное и такое что, начиная с него,

Кроме того, в силу равномерной сходимости функций найдется такое начиная с которого

Тогда, если больше, чем то

что ввиду произвольности дает (5.23).

Примеры

1. Пусть

Здесь для любого х согласно правила Лопиталя

Таким образом, последовательность функций (5.24) сходится при любом х, и предел ее будет равен тождественному нулю, и в том числе

Эта сходимость, однако, не является равномерной. Действительно, полагая мы получаем

2. Для последовательности функций

мы при любом x имеем

Последовательность (5.26) сходится при любом х и имеет пределом нуль. Вместе с тем, если положить то мы получаем

так что значение с ростом вообще неограниченно возрастает.

Каждый из этих примеров показывает, между прочим, что последовательность непрерывных функций может сходиться к непрерывной же функции неравномерным образом.