§ 7. Комплексные ряды

Теорема о почленном интегрировании степенного ряда в комплексной области формулируется и доказывается практически так же, как и для случая вещественной области. Это объясняется тем, что интегралы в комплексной области имеют много общего с обычными интегралами (особенно, если сравнивать их с криволинейными интегралами).

Теорема. Если степенной ряд сходится равномерно на некоторой кривой, то его можно интегрировать вдоль этой кривой почленно.

Доказательство этой теоремы, как и доказательство аналогичной теоремы предыдущего параграфа, осуществляется непосредственно ссылкой на теорему § 9 главы 5.

Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда в комплексной области является существенно более сложной, чем в вещественном случае. Мы ограничимся здесь лишь ее формулировкой.

Теорема. Если комплексный степенной ряд сходится равномерно на некотором контуре, то внутри этого контура его можно почленно дифференцировать и притом сколько угодно раз.

Пример. Рассмотренный нами в § 3 ряд

не сходится на всей окружности своего круга сходимости (именно, он расходится при Тем более, он не сходится на эгой окружности равномерно. Следовательно, мы не имеем права дифференцировать этот ряд почленно всюду в круге сходимости.

Вместе с тем этот ряд сходится равномерно в любой замкнутой области внутри своего круга сходимости и в том числе на любой окружности вида Следовательно, ряд (6.14) можно дифференцировать в его круге сходимости, отступая внутрь этого круга сколь угодно мало.