Часть I
ГЛАВА 1. ПРОГРЕССИИ
§ 1. Введение
При изучении теории рядов приходится сталкиваться с трудностями двоякого рода.
Прежде всего, теория рядов, как и всякая математическая теория, имеет свой аналитический аппарат, состоящий из теорем, различных приемов преобразования формул, методов доказательств равенств и неравенств, вычислений пределов, подсчетов конечных сумм и т. д. Этот аппарат составляет существенную часть курса теории рядов, и его освоение требует основательного изучения (и в том числе запоминания) довольно большого числа утверждений и формул, а также практических навыков, приобретаемых в ходе решения задач. С этой точки зрения теория рядов в принципе мало чем отличается от тех частей математического анализа, которые составляли предмет предыдущих разделов курса высшей математики: дифференциального и интегрального исчислений. В этом смысле теория рядов никаких особых трудностей при своем изучении доставлять не будет. Кроме того, у нас на протяжении курса будет достаточно возможностей обращать внимание на аналитическую (так сказать, на «формульную») сторону вопроса и отрабатывать типичные приемы рассуждений и вычислений.
Однако ряды при своем изучении доставляют трудности еще и другого характера, связанные с необычностью самого объекта изучения, каковым является ряд. Дело в том, что ряд по видимости является «суммой бесконечного числа слагаемых». Поставленное же в кавычки выражение нельзя понимать буквально уже хотя бы потому, что обычная алгебра занимается только действиями над конечным числом компонент и, в частности, суммами конечного числа слагаемых. Значит, на самом деле речь идет не об обычной сумме, а о чем-то таком, что еще
нужно правильно истолковать и понять. По этой же причине мы здесь не можем безоговорочно пользоваться знакомыми еще по школьной элементарной математике такими привычными и такими удобными законами действий, как переместительный (коммутативный) или сочетательный (ассоциативный) законы. Более того, некритическое применение этих, казалось бы, незыблемых правил может привести к совершенно неверным ответам. Тем более осторожно следует относиться к переносу на ряды известных простых теорем о дифференцировании и интегрировании сумм, состоящих из конечного числа слагаемых. Правда, сходные трудности уже появлялись в ходе освоения понятия определенного интеграла (который тоже в какой-то мере может пониматься как «сумма бесконечного числа слагаемых», именно, как общий предел некоторых последовательностей обычных сумм, когда число слагаемых в этих суммах неограниченно возрастает). Особенно близкими оказываются сейчас для нас рассуждения, касающиеся несобственных интегралов с бесконечными пределами. Однако следует иметь в виду, что в рамках программы нашего курса теория рядов более глубоко входит в эти вопросы, и возникающие в связи с этим трудности будут обильнее и серьезнее.
Чтобы избежать одновременного столкновения с трудностями обоих перечисленных типов, аналитическими и логическими, полезно до построения систематической теории рядов пронаблюдать основные понятия этой теории и их взаимосвязь на некотором частном, достаточно простом и по возможности известном примере, который будет для нас играть роль модели. В качестве такой модели мы рассмотрим теорию геометрических прогрессий.
