Главная > Теория рядов
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Часть I

ГЛАВА 1. ПРОГРЕССИИ

§ 1. Введение

При изучении теории рядов приходится сталкиваться с трудностями двоякого рода.

Прежде всего, теория рядов, как и всякая математическая теория, имеет свой аналитический аппарат, состоящий из теорем, различных приемов преобразования формул, методов доказательств равенств и неравенств, вычислений пределов, подсчетов конечных сумм и т. д. Этот аппарат составляет существенную часть курса теории рядов, и его освоение требует основательного изучения (и в том числе запоминания) довольно большого числа утверждений и формул, а также практических навыков, приобретаемых в ходе решения задач. С этой точки зрения теория рядов в принципе мало чем отличается от тех частей математического анализа, которые составляли предмет предыдущих разделов курса высшей математики: дифференциального и интегрального исчислений. В этом смысле теория рядов никаких особых трудностей при своем изучении доставлять не будет. Кроме того, у нас на протяжении курса будет достаточно возможностей обращать внимание на аналитическую (так сказать, на «формульную») сторону вопроса и отрабатывать типичные приемы рассуждений и вычислений.

Однако ряды при своем изучении доставляют трудности еще и другого характера, связанные с необычностью самого объекта изучения, каковым является ряд. Дело в том, что ряд по видимости является «суммой бесконечного числа слагаемых». Поставленное же в кавычки выражение нельзя понимать буквально уже хотя бы потому, что обычная алгебра занимается только действиями над конечным числом компонент и, в частности, суммами конечного числа слагаемых. Значит, на самом деле речь идет не об обычной сумме, а о чем-то таком, что еще

нужно правильно истолковать и понять. По этой же причине мы здесь не можем безоговорочно пользоваться знакомыми еще по школьной элементарной математике такими привычными и такими удобными законами действий, как переместительный (коммутативный) или сочетательный (ассоциативный) законы. Более того, некритическое применение этих, казалось бы, незыблемых правил может привести к совершенно неверным ответам. Тем более осторожно следует относиться к переносу на ряды известных простых теорем о дифференцировании и интегрировании сумм, состоящих из конечного числа слагаемых. Правда, сходные трудности уже появлялись в ходе освоения понятия определенного интеграла (который тоже в какой-то мере может пониматься как «сумма бесконечного числа слагаемых», именно, как общий предел некоторых последовательностей обычных сумм, когда число слагаемых в этих суммах неограниченно возрастает). Особенно близкими оказываются сейчас для нас рассуждения, касающиеся несобственных интегралов с бесконечными пределами. Однако следует иметь в виду, что в рамках программы нашего курса теория рядов более глубоко входит в эти вопросы, и возникающие в связи с этим трудности будут обильнее и серьезнее.

Чтобы избежать одновременного столкновения с трудностями обоих перечисленных типов, аналитическими и логическими, полезно до построения систематической теории рядов пронаблюдать основные понятия этой теории и их взаимосвязь на некотором частном, достаточно простом и по возможности известном примере, который будет для нас играть роль модели. В качестве такой модели мы рассмотрим теорию геометрических прогрессий.

1
Оглавление
email@scask.ru